Упр.45.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = x/(x2 — 4) б)y = (x — 3)/(x2 — 8)

а) $$f(x)=\frac{x}{x^2-4}$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(x^2-4)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2-4)^2} =\frac{x^2-4-2x^2}{(x^2-4)^2} =\frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2} =-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}. $$

Так как $$x^2+4>0$$ при всех $$x$$, а $$ (x^2-4)^2>0 $$ при $$x\neq \pm 2$$, то

$$f'(x)<0$$ на всей области определения.

1) Область определения:

$$x^2-4\neq 0,\quad x\neq \pm 2,$$

$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

2) Чётность:

$$ f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2-4}=-\frac{x}{x^2-4}=-f(x), $$

значит, функция нечётная.

3) Асимптоты:

вертикальные: $$x=-2$$ и $$x=2$$;

горизонтальная:

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2-4}=0, $$

значит, $$y=0.$$

4) Промежутки монотонности:

так как $$f'(x)<0$$ на каждом промежутке области определения, функция убывает на

$$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

5) Для построения графика можно взять точки:

б) $$f(x)=\frac{x-3}{x^2-8}$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(x^2-8)\cdot 1-(x-3)\cdot 2x}{(x^2-8)^2} =\frac{x^2-8-2x^2+6x}{(x^2-8)^2} =\frac{-x^2+6x-8}{(x^2-8)^2}. $$

Преобразуем числитель:

$$ -x^2+6x-8=-(x^2-6x+8)=-(x-2)(x-4). $$

Тогда

$$ f'(x)=\frac{-(x-2)(x-4)}{(x^2-8)^2}. $$

1) Область определения:

$$x^2-8\neq 0,\quad x\neq \pm 2\sqrt2,$$

$$D(f)=(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty).$$

2) Чётность:

$$ f(-x)=\frac{-x-3}{x^2-8}\neq f(x),\qquad f(-x)\neq -f(x), $$

значит, функция ни чётная, ни нечётная.

3) Асимптоты:

вертикальные: $$x=-2\sqrt2$$ и $$x=2\sqrt2$$;

горизонтальная:

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x^2-8}=0, $$

значит, $$y=0.$$

4) Промежутки монотонности:

так как знаменатель $$ (x^2-8)^2>0 $$ на области определения, знак производной определяется числителем:

$$ f'(x)\ge 0 \iff -(x-2)(x-4)\ge 0 \iff (x-2)(x-4)\le 0. $$

Отсюда функция возрастает на

$$[2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4],$$

и убывает на

$$(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2]\cup[4;+\infty).$$

5) Стационарные точки:

$$ f(2)=\frac{2-3}{4-8}=\frac14,\qquad f(4)=\frac{4-3}{16-8}=\frac18. $$

Следовательно, в точке $$x=2$$ — минимум, в точке $$x=4$$ — максимум.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),$$ функция нечётная, асимптоты $$x=\pm 2,$$ $$y=0,$$ убывает на всей области определения.

б) $$D(f)=(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, асимптоты $$x=\pm 2\sqrt2,$$ $$y=0,$$ возрастает на $$[2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4],$$ убывает на $$(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2]\cup[4;+\infty).$$