Упр.45.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (2x + 1)/(x2 + 2) б )У = (x — 2)/(x2 + 5)

1. а) $$f(x)=\frac{2x+1}{x^2+2}$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{(2x+1)'(x^2+2)-(2x+1)(x^2+2)’}{(x^2+2)^2} =\frac{2(x^2+2)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^2+2)^2} $$

   $$ f'(x)=\frac{2x^2+4-4x^2-2x}{(x^2+2)^2} =\frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2} =\frac{-2(x-1)(x+2)}{(x^2+2)^2} $$

   Так как знаменатель всегда положителен, знак производной определяется числителем:

   $$ -2(x-1)(x+2)\ge 0 \iff (x-1)(x+2)\le 0 $$

   Отсюда функция возрастает на $$[-2;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1;+\infty).$$

   Найдём экстремумы:

   $$ f(-2)=\frac{2\cdot(-2)+1}{(-2)^2+2}=\frac{-3}{6}=-\frac12, \qquad f(1)=\frac{2\cdot1+1}{1^2+2}=\frac{3}{3}=1 $$

   Значит, $$y_{\min}=-\frac12,$$ $$y_{\max}=1.$$

2. б) $$f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{(x-2)'(x^2+5)-(x-2)(x^2+5)’}{(x^2+5)^2} =\frac{(x^2+5)-2x(x-2)}{(x^2+5)^2} $$

   $$ f'(x)=\frac{x^2+5-2x^2+4x}{(x^2+5)^2} =\frac{-x^2+4x+5}{(x^2+5)^2} =\frac{-(x-5)(x+1)}{(x^2+5)^2} $$

   Так как знаменатель всегда положителен, то

   $$ -(x-5)(x+1)\ge 0 \iff (x-5)(x+1)\le 0 $$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-1;5]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$

   Найдём экстремумы:

   $$ f(-1)=\frac{-1-2}{(-1)^2+5}=\frac{-3}{6}=-\frac12, \qquad f(5)=\frac{5-2}{5^2+5}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10} $$

   Значит, $$y_{\min}=-\frac12,$$ $$y_{\max}=\frac{1}{10}.$$

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1;+\infty),$$ возрастает на $$[-2;1],$$
$$y_{\min}=-\frac12,\ y_{\max}=1.$$

б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[5;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;5],$$
$$y_{\min}=-\frac12,\ y_{\max}=\frac{1}{10}.$$