Упр.45.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = x/2 + 2/x б) y = (x2 + 4)/x
а) $$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac12-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-4}{2x^2}.$$
1) Область определения:
$$x\ne 0,\qquad D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
2) Чётность:
$$f(-x)=\frac{-x}{2}+\frac{2}{-x}=-\left(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\right)=-f(x),$$
значит, функция нечётная.
3) Асимптоты:
$$x=0$$
— вертикальная асимптота, так как при $$x\to 0$$ функция неограниченно возрастает по модулю.
Наклонной асимптотой является
$$y=\frac{x}{2},$$
так как
$$f(x)-\frac{x}{2}=\frac{2}{x}\to 0 \quad \text{при } x\to \pm\infty.$$
4) Промежутки монотонности:
$$f'(x)=\frac{x^2-4}{2x^2}.$$
Так как $$2x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется числителем:
$$x^2-4\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge 2.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0)\cup(0;2].$$
5) Стационарные точки:
$$f(-2)=\frac{-2}{2}+\frac{2}{-2}=-1-1=-2,$$
$$f(2)=\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=1+1=2.$$
Точка $$(-2;-2)$$ — точка максимума, точка $$ (2;2) $$ — точка минимума.
6) Для построения графика можно взять несколько точек:
| $$x$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$5$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$4{,}25$$ | $$2{,}5$$ | $$2{,}2$$ | $$2{,}9$$ |
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
б) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
1) Область определения:
$$x\ne 0,\qquad D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
2) Чётность:
$$f(-x)=-x+\frac{4}{-x}=-\left(x+\frac{4}{x}\right)=-f(x),$$
значит, функция нечётная.
3) Асимптоты:
$$x=0$$
— вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота:
$$y=x,$$
так как
$$f(x)-x=\frac{4}{x}\to 0 \quad \text{при } x\to \pm\infty.$$
4) Промежутки монотонности:
$$f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
При $$x\ne 0$$ знак производной определяется числителем:
$$x^2-4\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge 2.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0)\cup(0;2].$$
5) Стационарные точки:
$$f(-2)=-2+\frac{4}{-2}=-2-2=-4,$$
$$f(2)=2+\frac{4}{2}=2+2=4.$$
Точка $$(-2;-4)$$ — точка максимума, точка $$ (2;4) $$ — точка минимума.
6) Для построения графика можно взять несколько точек:
| $$x$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$6$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$5$$ | $$2{,}9$$ | $$6{,}6$$ |
График также состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; функция нечётная; асимптоты: $$x=0$$, $$y=\frac{x}{2}$$; возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0)\cup(0;2]$$; максимум в точке $$(-2;-2)$$, минимум в точке $$ (2;2) $$.
б) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; функция нечётная; асимптоты: $$x=0$$, $$y=x$$; возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0)\cup(0;2]$$; максимум в точке $$(-2;-4)$$, минимум в точке $$ (2;4) $$.
