Упр.45.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = 1/(х2 + 4х + 4) б) y = 1/(x2 + 2x + 1)

а) $$f(x)=\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{1}{(x+2)^2}$$

1) Область определения:

$$x+2\ne 0,\quad x\ne -2,$$

$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$

2) Чётность:

$$f(-x)=\frac{1}{(-x+2)^2}\ne f(x),$$

значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Асимптоты:

$$x=-2$$

— вертикальная асимптота.

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+4x+4}=0,$$

значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.

4) Производная:

$$f'(x)=\left((x+2)^{-2}\right)’=-2(x+2)^{-3}=-\frac{2}{(x+2)^3}.$$

Так как $$f'(x)>0$$ при $$x<-2$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>-2,$$ то функция возрастает на $$(-\infty;-2)$$ и убывает на $$(-2;+\infty).$$

5) Несколько точек графика:

$$f(-4)=\frac14,\quad f(-3)=1,\quad f(-1)=1,\quad f(0)=\frac14.$$

б) $$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}=\frac{1}{(x+1)^2}$$

1) Область определения:

$$x+1\ne 0,\quad x\ne -1,$$

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

2) Чётность:

$$f(-x)=\frac{1}{(-x+1)^2}\ne f(x),$$

значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Асимптоты:

$$x=-1$$

— вертикальная асимптота.

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+2x+1}=0,$$

значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.

4) Производная:

$$f'(x)=\left((x+1)^{-2}\right)’=-2(x+1)^{-3}=-\frac{2}{(x+1)^3}.$$

Так как $$f'(x)>0$$ при $$x<-1$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>-1,$$ то функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и убывает на $$(-1;+\infty).$$

5) Несколько точек графика:

$$f(-3)=\frac14,\quad f(-2)=1,\quad f(0)=1,\quad f(1)=\frac14.$$

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),$$ функция не является ни чётной, ни нечётной, асимптоты: $$x=-2,$$ $$y=0,$$ возрастает на $$(-\infty;-2)$$ и убывает на $$(-2;+\infty).$$

б) $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty),$$ функция не является ни чётной, ни нечётной, асимптоты: $$x=-1,$$ $$y=0,$$ возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и убывает на $$(-1;+\infty).$$