Упр.45.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение корень x(4х3 + 3х2 — 6х + 2,75 — sin пи х) = 0.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x}\,(4x^3+3x^2-6x+2{,}75-\sin \pi x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{x}=0,$$ откуда $$x=0.$$

2) $$4x^3+3x^2-6x+2{,}75-\sin \pi x=0.$$

Перенесём:

$$4x^3+3x^2-6x+2{,}75=\sin \pi x.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=4x^3+3x^2-6x+2{,}75,\qquad g(x)=\sin \pi x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём характер изменения функций.

$$f'(x)=12x^2+6x-6=6(2x^2+x-1)=6(2x-1)(x+1).$$

На промежутке $$[0;+\infty)$$ имеем: $$f'(x)\le 0$$ при $$0\le x\le \frac12$$ и $$f'(x)\ge 0$$ при $$x\ge \frac12.$$ Значит, $$f(x)$$ убывает на $$[0;\frac12]$$ и возрастает на $$[\frac12;+\infty).$$

Минимум:

$$f\!\left(\frac12\right)=4\cdot\frac18+3\cdot\frac14-6\cdot\frac12+2{,}75=-1{,}75.$$

Для функции $$g(x)=\sin \pi x$$:

$$g'(x)=\pi \cos \pi x.$$

На отрезке $$[0;1]$$ функция $$g(x)$$ принимает значения от $$0$$ до $$0$$, причём максимум равен $$1$$ при $$x=\frac12,$$ а минимум равен $$-1$$ при $$x=\frac32.$$

Сравним значения функций в характерных точках:

$$f(0)=2{,}75,\qquad g(0)=0,$$

$$f\!\left(\frac12\right)=-1{,}75,\qquad g\!\left(\frac12\right)=1,$$

$$f(1)=1,\qquad g(1)=0.$$

Из графиков видно, что равенство $$f(x)=g(x)$$ выполняется только при $$x=\frac12.$$

С учётом первого случая получаем решения уравнения:

$$x=0,\quad x=\frac12.$$