Упр.45.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 3корнеь(x + 1) = -х3 + Sx2 + 6; б) х3 — 3x = (х + 1)6 + 2.

а) Рассмотрим функции $$y=3\sqrt{x+1}$$ и $$y=-x^3+3x^2+6.$$

Для первой функции:

$$x+1\ge 0,\quad x\ge -1,$$

значит, $$D(y)=[-1;+\infty).$$

Функция $$y=3\sqrt{x+1}$$ возрастает на всей области определения.

Для второй функции:

$$y’=-3x^2+6x=-3x(x-2).$$

Отсюда функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$

Найдём значения в характерных точках:

$$ \begin{aligned} x&=-1,& y&=3\sqrt{0}=0,\\ x&=0,& y&=3\sqrt{1}=3,\\ x&=3,& y&=3\sqrt{4}=6,\\ x&=8,& y&=3\sqrt{9}=9. \end{aligned} $$

Для правой части:

$$ \begin{aligned} x&=-1,& y&=-(-1)^3+3(-1)^2+6=10,\\ x&=0,& y&=6,\\ x&=1,& y&=-1+3+6=8,\\ x&=3,& y&=-27+27+6=6. \end{aligned} $$

Графики пересекаются при $$x=3,$$ так как

$$3\sqrt{3+1}=3\cdot 2=6,$$

$$-3^3+3\cdot 3^2+6=-27+27+6=6.$$

Следовательно, решение уравнения:

$$x=3.$$

б) Рассмотрим функции $$y=x^3-3x$$ и $$y=(x+1)^6+2.$$

Для первой функции:

$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$

Найдём значения в точках экстремума:

$$ \begin{aligned} x&=-1,& y&=(-1)^3-3(-1)=2,\\ x&=1,& y&=1-3=-2. \end{aligned} $$

Для второй функции:

$$y’=6(x+1)^5.$$

Так как степень нечётная, то функция убывает при $$x<-1$$ и возрастает при $$x>-1.$$

Минимум достигается при $$x=-1$$:

$$y_{\min}=( -1+1)^6+2=2.$$

Сравним значения функций в точке $$x=-1$$:

$$-1^3-3(-1)=2,\qquad (-1+1)^6+2=2.$$

Значит, графики имеют общую точку $$(-1;2),$$ и это единственная точка пересечения.

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=-1$$.