Упр.45.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет уравнение х3 + ах + 2 = 0 при различных значениях параметра а?

Преобразуем уравнение к виду

$$x^3+ax+2=0 \iff a=-\frac{x^3+2}{x}=-x^2-\frac{2}{x}.$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)=-x^2-\frac{2}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2x+\frac{2}{x^2}=\frac{2(1-x^3)}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется выражением $$1-x^3$$. Поэтому

$$f'(x)>0 \text{ при } x<1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$

Значит, на промежутке $$(-\infty;0)$$ функция возрастает, на $$ (0;1] $$ возрастает, а на $$[1;+\infty)$$ убывает.

В точке $$x=1$$ достигается максимум:

$$f(1)=-1-\frac{2}{1}=-3.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$-3$$, а график пересекает горизонтальную прямую $$a=\text{const}$$:

• один раз при $$a>-3$$;
• два раза при $$a=-3$$;
• три раза при $$a<-3$$.

Ответ

$$1$$ корень при $$a>-3$$;

$$2$$ корня при $$a=-3$$;

$$3$$ корня при $$a<-3$$.