Упр.45.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр а: a) х3 — 3х2 = а, -4 < а < 0; б) -х3 + 3х2 - 2 = а, а < -2; в) 3х2 - х3 = а, 0 < а < 4; г) х3 - 3х2 + 2 = а, а > 2?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x^2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2].$$
Значения в точках экстремума:
$$f(0)=0,\qquad f(2)=8-12=-4.$$
При $$-4<a<0$$ прямая $$y=a$$ пересекает график функции в трёх точках.
Ответ: 3 корня.
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^3+3x^2-2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-3x^2+6x=3x(2-x).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$
Функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty).$$
Значения в точках экстремума:
$$f(0)=-2,\qquad f(2)=-8+12-2=2.$$
При $$a<-2$$ прямая $$y=a$$ лежит ниже наименьшего значения функции, поэтому пересекает график только один раз.
Ответ: 1 корень.
в) Рассмотрим функцию $$f(x)=3x^2-x^3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$
Функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty).$$
Значения в точках экстремума:
$$f(0)=0,\qquad f(2)=12-8=4.$$
При $$0<a<4$$ прямая $$y=a$$ пересекает график функции в трёх точках.
Ответ: 3 корня.
г) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x^2+2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2].$$
Значения в точках экстремума:
$$f(0)=2,\qquad f(2)=8-12+2=-2.$$
При $$a>2$$ прямая $$y=a$$ расположена выше наибольшего значения функции, поэтому пересекает график только один раз.
Ответ: 1 корень.