Упр.45.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Постройте график функции у = -х4 + 2х2 + 8. б) При каких значениях параметра а уравнение -х4 + 2х2 + 8 = а не имеет корней?

Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^4+2x^2+8.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)=-4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки:

$$f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,-1) & (-1,0) & (0,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & — & + & — \end{array} $$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-1]\cup[0,1]$$ и убывает на $$[-1,0]\cup[1,+\infty).$$

Найдём значения функции в точках экстремума:

$$f(-1)=-1+2+8=9,$$

$$f(0)=8,$$

$$f(1)=-1+2+8=9.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$9,$$ а наименьшего значения нет, так как при $$x\to\pm\infty$$ имеем $$f(x)\to-\infty.$$

Для построения графика отметим основные точки: $$(-2,0),\ (0,8),\ (2,0),\ (-1,9),\ (1,9).$$ График симметричен относительно оси $$Oy.$$

Теперь рассмотрим уравнение

$$-x^4+2x^2+8=a.$$

Оно имеет корни тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ пересекает график функции $$y=-x^4+2x^2+8.$$

Так как множество значений функции равно $$(-\infty,9],$$ то корней нет при

$$a>9.$$

Ответ

а) График функции имеет точки $$(-2,0),\ (0,8),\ (2,0),\ (-1,9),\ (1,9)$$; функция возрастает на $$(-\infty,-1]\cup[0,1]$$ и убывает на $$[-1,0]\cup[1,+\infty).$$

б) $$a\in(9,+\infty).$$