Упр.45.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Постройте график функции у = х4 — 2х2 + 3. б) При каких значениях параметра а уравнение х4 — 2х2 + 3 = а имеет три корня?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-2x^2+3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,-1) & (-1,0) & (0,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & — & + & — & + \end{array} $$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,-1]$$ и $$[0,1]$$, возрастает на $$[-1,0]$$ и $$[1,+\infty).$$

Найдём значения функции в характерных точках:

$$f(-1)=1-2+3=2,\qquad f(0)=3,\qquad f(1)=1-2+3=2.$$

Так как функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy.$$ Минимумы равны $$2$$ и достигаются при $$x=\pm1,$$ а локальный максимум равен $$3$$ и достигается при $$x=0.$$

Для построения графика удобно отметить точки $$(-1,2),\ (0,3),\ (1,2)$$ и учесть, что при $$x\to\pm\infty$$ имеем $$f(x)\to+\infty.$$

Теперь рассмотрим уравнение

$$x^4-2x^2+3=a.$$

Это означает, что график функции $$y=x^4-2x^2+3$$ и прямая $$y=a$$ должны иметь три общие точки. Такое возможно только тогда, когда прямая проходит через уровень локального максимума и пересекает график ещё в двух точках, то есть при

$$a=3.$$

Проверка: при $$a=3$$ получаем

$$x^4-2x^2=0,$$

$$x^2(x^2-2)=0,$$

откуда $$x=0,\ x=\pm\sqrt2.$$

Итак, три корня действительно есть.

Ответ

а) График функции имеет точки экстремума $$(-1,2),\ (0,3),\ (1,2)$$, функция убывает на $$(-\infty,-1]$$ и $$[0,1]$$, возрастает на $$[-1,0]$$ и $$[1,+\infty).$$

б) $$a=3.$$