Упр.45.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = x / (корень (1 — х2)); б) y = x/(корень(х2 — 1))

а) $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Найдём область определения:

$$1-x^2>0$$

$$-1<x<1$$

$$D(f)=(-1;1)$$

Функция нечётная, так как

$$f(-x)=\frac{-x}{\sqrt{1-(-x)^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-f(x)$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(\sqrt{1-x^2})\cdot 1-x\cdot\left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\right)}{1-x^2} =\frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} =\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}} $$

На области определения $$f'(x)>0$$, значит, функция возрастает на $$(-1;1)$$.

Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

При $$x\to 1-$$ и $$x\to -1+$$ знаменатель стремится к нулю, поэтому график уходит в бесконечность. Точка $$x=0$$ даёт $$f(0)=0$$.

Следовательно, график — возрастающая нечётная кривая, симметричная относительно начала координат, с вертикальными асимптотами $$x=\pm 1$$.

б) $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$

Найдём область определения:

$$x^2-1>0$$

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1$$

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

Функция нечётная:

$$f(-x)=\frac{-x}{\sqrt{(-x)^2-1}}=-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-f(x)$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(\sqrt{x^2-1})\cdot 1-x\cdot\left(\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}\right)}{x^2-1} =\frac{-1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} =-\frac{1}{(x^2-1)^{3/2}} $$

На области определения $$f'(x)<0$$, значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$.

Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Найдём горизонтальную асимптоту:

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=1 $$

Аналогично, при $$x\to-\infty$$ получаем $$y=-1$$.

Следовательно, график состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат, с асимптотами $$x=\pm 1$$ и $$y=\pm 1$$.

Ответ

а) $$D(f)=(-1;1)$$, функция нечётная, возрастает на $$(-1;1)$$, асимптоты $$x=\pm 1$$.
б) $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$, функция нечётная, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$, асимптоты $$x=\pm 1$$, $$y=\pm 1$$.