Упр.45.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте функцию и постройте ее график: a) у = 1/(x2 + 1) б) у = -2/(x2 + 4)
а) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
1) Область определения:
$$x^2+1>0 \text{ при любом } x,$$
значит, $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Чётность:
$$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x),$$
следовательно, функция чётная.
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+1}=0,$$
значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.
4) Производная:
$$f'(x)=\left(\frac{1}{x^2+1}\right)’=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, знак производной определяется числителем:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
5) Экстремум:
$$f(0)=\frac{1}{0^2+1}=1,$$
значит, в точке $$x=0$$ достигается максимум: $$y_{\max}=1.$$
6) Для построения графика отметим несколько точек:
$$f(1)=\frac12,\qquad f(2)=\frac15,\qquad f(3)=\frac1{10}.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$ (0;1) $$ и стремится к оси $$Ox$$ при $$x\to\pm\infty.$$
б) $$f(x)=-\frac{2}{x^2+4}$$
1) Область определения:
$$x^2+4>0 \text{ при любом } x,$$
значит, $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Чётность:
$$f(-x)=-\frac{2}{(-x)^2+4}=-\frac{2}{x^2+4}=f(x),$$
следовательно, функция чётная.
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}-\frac{2}{x^2+4}=0,$$
значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.
4) Производная:
$$f'(x)=\left(-\frac{2}{x^2+4}\right)’=\frac{4x}{(x^2+4)^2}.$$
Знак производной определяется числителем:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
5) Экстремум:
$$f(0)=-\frac{2}{4}=-\frac12,$$
значит, в точке $$x=0$$ достигается минимум: $$y_{\min}=-\frac12.$$
6) Для построения графика отметим несколько точек:
$$f(1)=-\frac25,\qquad f(2)=-\frac14,\qquad f(3)=-\frac{2}{13}.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$ (0;-\tfrac12) $$ и стремится к оси $$Ox$$ при $$x\to\pm\infty.$$
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty),$$ максимум $$1$$ при $$x=0,$$ асимптота $$y=0.$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty),$$ минимум $$-\frac12$$ при $$x=0,$$ асимптота $$y=0.$$
