Упр.44.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Изобразите эскиз графика производной функции у = f(x), если известно, что данная функция возрастает на (-00; x) и убывает на промежутке (1; +оо). б) Изобразите эскиз графика производной функции у = f(x), если известно, что данная функция убывает на луче (-оо; -1], возрастает на отрезке [-1; 3], убывает на луче [3; +оо).
Знак производной определяется поведением функции: если $$f(x)$$ возрастает, то $$f'(x)>0$$, если убывает, то $$f'(x)<0$$. В точках перехода от возрастания к убыванию или наоборот производная равна нулю.
Функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$(1;+\infty)$$, значит
$$f'(x)>0 \text{ при } x<1,\qquad f'(1)=0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$
Эскиз графика $$f'(x)$$: слева от $$x=1$$ график расположен выше оси $$Ox$$, в точке $$x=1$$ пересекает ось $$Ox$$, справа от $$x=1$$ расположен ниже оси $$Ox$$.
Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;3]$$, убывает на $$[3;+\infty)$$, значит
$$f'(x)<0 \text{ при } x<-1,\qquad f'(-1)=0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } -1<x<3,\qquad f'(3)=0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>3.$$
Эскиз графика $$f'(x)$$: он пересекает ось $$Ox$$ в точках $$x=-1$$ и $$x=3$$, выше оси $$Ox$$ находится на промежутке $$(-1;3)$$ и ниже оси $$Ox$$ — вне этого промежутка.
Ответ
1) $$f'(x)>0$$ при $$x<1$$, $$f'(1)=0$$, $$f'(x)<0$$ при $$x>1$$.
2) $$f'(x)<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>3$$, $$f'(-1)=0$$, $$f'(3)=0$$, $$f'(x)>0$$ при $$-1<x<3$$.
