Упр.44.76 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) arcsin х > х, если 0 < х < 1; б) arctg х > х — x3/3, если х > 0.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\arcsin x-x.$$

Нужно доказать, что $$f(x)>0$$ при $$0<x<1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$0<\sqrt{1-x^2}<1,$$ значит

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>1,$$

следовательно, $$f'(x)>0$$ на промежутке $$0<x<1.$$

Значит, функция $$f(x)$$ возрастает на этом промежутке. Тогда для любого $$x>0$$

$$f(x)>f(0)=\arcsin 0-0=0.$$

Итак,

$$\arcsin x>x,\quad 0<x<1.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\arctg x-x+\frac{x^3}{3}.$$

Нужно доказать, что $$f(x)>0$$ при $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-1+x^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ f'(x)=\frac{1-(1+x^2)+x^2(1+x^2)}{1+x^2} =\frac{x^4}{1+x^2}. $$

Так как $$x>0,$$ то $$x^4>0$$ и $$1+x^2>0,$$ значит

$$f'(x)>0.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает при $$x>0.$$ Тогда

$$f(x)>f(0)=\arctg 0-0+\frac{0^3}{3}=0.$$

Значит,

$$\arctg x>x-\frac{x^3}{3},\quad x>0.$$

Ответ

$$\arcsin x>x,\quad 0<x<1;$$

$$\arctg x>x-\frac{x^3}{3},\quad x>0.$$