Упр.44.75 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите неравенство: a) х2 — х3 < 1/6, если х > 2/3 б) 2корень х > = 3 -1/х, если х > 0.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-x^3-\frac16.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-3x^2=x(2-3x).$$
При $$x>\frac23$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит, функция убывает на луче $$\left[\frac23;+\infty\right).$$ Следовательно, при $$x>\frac23$$
$$f(x)<f\!\left(\frac23\right).$$
Вычислим значение функции в точке $$x=\frac23$$:
$$ f\!\left(\frac23\right)=\left(\frac23\right)^2-\left(\frac23\right)^3-\frac16 =\frac49-\frac8{27}-\frac16 =\frac{12-8}{27}-\frac16 =\frac4{27}-\frac16 =-\frac1{54}<0. $$
Значит, $$f(x)<0$$, то есть
$$x^2-x^3<\frac16.$$
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=2\sqrt{x}-3+\frac1x,\quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac1{\sqrt{x}}-\frac1{x^2}.$$
Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:
$$ \frac1{\sqrt{x}}-\frac1{x^2}\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2-\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}}\ge 0. $$
Так как $$x>0$$, знаменатель положителен, поэтому
$$x^2-\sqrt{x}\ge 0.$$
Положим $$t=\sqrt{x}>0$$. Тогда
$$t^4-t\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; t(t^3-1)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; t\ge 1,$$
откуда $$x\ge 1.$$
Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$ Следовательно, минимум достигается при $$x=1$$:
$$f(1)=2\sqrt1-3+\frac11=2-3+1=0.$$
Тогда для всех $$x>0$$
$$f(x)\ge 0,$$
то есть
$$2\sqrt{x}\ge 3-\frac1x.$$
Ответ
а) $$x^2-x^3<\frac16$$ при $$x>\frac23$$; б) $$2\sqrt{x}\ge 3-\frac1x$$ при $$x>0$$.
