Упр.44.74 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что функция у = f(x) постоянна на указанном промежутке и найдите значение этой постоянной: a) f(x) = 2 arctg х + arcsin 2x/(1 + x2) при х > 1; б) f(х) = arccos 1/(корень(1 + х2)) + arctg х при х < 0.

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)=2\arctg x+\arcsin \frac{2x}{1+x^2}, \quad x>1.$$

Найдём производную. Обозначим

$$u=\frac{2x}{1+x^2}.$$

Тогда

$$u’=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$

Кроме того,

$$1-u^2=1-\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2},$$

значит

$$\sqrt{1-u^2}=\frac{|1-x^2|}{1+x^2}.$$

При $x>1$ имеем $|1-x^2|=x^2-1$, поэтому

$$\left(\arcsin \frac{2x}{1+x^2}\right)’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\cdot \frac{1+x^2}{x^2-1}=-\frac{2}{1+x^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=2\cdot \frac{1}{1+x^2}-\frac{2}{1+x^2}=0.$$

Следовательно, функция постоянна на промежутке $x>1$.

Найдём её значение, подставив $x=1$:

$$f(1)=2\arctg 1+\arcsin \frac{2}{1+1^2}=2\cdot \frac{\pi}{4}+\arcsin 1=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$

б) Рассмотрим функцию

$$f(x)=\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\arctg x, \quad x<0.$$

Обозначим

$$u=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Тогда

$$u’=-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$

Кроме того,

$$1-u^2=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2},$$

значит

$$\sqrt{1-u^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}.$$

При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому

$$\left(\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)’=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}=-\frac{-x}{(1+x^2)^{3/2}}\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}}{-x}=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+x^2}=0.$$

Следовательно, функция постоянна на промежутке $x<0$.

Найдём её значение, подставив $x=0$:

$$f(0)=\arccos \frac{1}{\sqrt{1+0^2}}+\arctg 0=\arccos 1+0=0.$$

Ответ

а) $$f(x)=\pi.$$

б) $$f(x)=0.$$