Упр.44.73 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) arccos корень(1 — x2 ) = arcsin х, 0 = < х = < 1, arcsin х, -1 = < х < 0; б) arctg х + arctg (1 - x)/(1 + x) = пи/4, х > -1, -3пи/4, x < -1.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\arccos\sqrt{1-x^2}-\arcsin x.$$

Проверим концы отрезка $$[-1;1]$$:

$$ f(-1)=\arccos\sqrt{1-(-1)^2}-\arcsin(-1)=\arccos 0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi, $$

Но при $$x=-1$$ нужно учитывать, что $$\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$$, поэтому

$$ f(-1)=\arccos 0-\arcsin(-1)=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi. $$

Однако в исходном тождестве для $$x<0$$ стоит $$-\arcsin x$$, поэтому рассмотрим два случая.

Если $$0\le x\le 1$$, то $$\sqrt{1-x^2}\ge 0$$ и

$$ \arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin x. $$

Действительно, на промежутке $$[0;1]$$ обе функции имеют одинаковую производную:

$$ \left(\arccos\sqrt{1-x^2}\right)’= -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}}\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, $$

$$ (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. $$

Значит, их разность постоянна. При $$x=0$$:

$$ \arccos\sqrt{1-0^2}-\arcsin 0=\arccos 1-0=0, $$

следовательно, постоянная равна нулю, и на $$[0;1]$$

$$ \arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin x. $$

Если $$-1\le x<0$$, то аналогично

$$ \arccos\sqrt{1-x^2}=-\arcsin x. $$

Итак, тождество доказано.

б) Рассмотрим функцию

$$ f(x)=\arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}. $$

Область определения: $$x\ne -1$$.

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)’}{1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}. $$

$$ \left(\frac{1-x}{1+x}\right)’=\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=-\frac{2}{(1+x)^2}. $$

Тогда

$$ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2}{(1+x)^2+(1-x)^2} =\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0. $$

Значит, на каждом из промежутков $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;+\infty)$$ функция постоянна.

Найдём её значение при $$x=0$$:

$$ f(0)=\arctg 0+\arctg 1=0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}. $$

При $$x=-3$$:

$$ f(-3)=\arctg(-3)+\arctg\frac{1-(-3)}{1+(-3)} =\arctg(-3)+\arctg(-2). $$

Используем формулу

$$ \arctg a+\arctg b=\arctg\frac{a+b}{1-ab} $$

с учётом выбора ветви: для $$a=-3$$ и $$b=-2$$ получаем

$$ f(-3)=-\frac{3\pi}{4}. $$

Следовательно,

$$ \arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}= \begin{cases} \frac{\pi}{4}, & x>-1,\\ -\frac{3\pi}{4}, & x<-1. \end{cases} $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \arccos\sqrt{1-x^2}= \begin{cases} \arcsin x, & 0\le x\le 1,\\ -\arcsin x, & -1\le x<0, \end{cases} $$
$$ \arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}= \begin{cases} \frac{\pi}{4}, & x>-1,\\ -\frac{3\pi}{4}, & x<-1. \end{cases} $$