Упр.44.72 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) arcsin x = пи/2 — arccos х; б) arctg х + arcctg х = пи/2.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\arcsin x+\arccos x.$$

Найдём её производную:

$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0. $$

Значит, $$f(x)=C$$ — постоянная функция.

Найдём значение этой постоянной при $$x=0$$:

$$ f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}. $$

Следовательно,

$$ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}, $$

то есть

$$ \arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arccos x. $$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\arctg x+\arcctg x.$$

Найдём её производную:

$$ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0. $$

Значит, $$f(x)=C$$ — постоянная функция.

Найдём значение этой постоянной при $$x=0$$:

$$ f(0)=\arctg 0+\arcctg 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}. $$

Следовательно,

$$ \arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}. $$

Ответ

$$ \arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arccos x,\qquad \arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}. $$