Упр.44.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 5х — 2 cos х — 8х = х5 — 2; б) 4 cos Зх + 5 sin x/2 + 15 = 4 — х3.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sin 5x-2\cos x-8x$$ и $$g(x)=x^5-2.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=5\cos 5x+2\sin x-8,$$

$$g'(x)=5x^4.$$

Так как $$5\cos 5x\le 5,$$ $$2\sin x\le 2,$$ то

$$f'(x)\le 5+2-8=-1<0.$$

Значит, $$f(x)$$ убывает. При этом $$g'(x)=5x^4\ge 0,$$ следовательно, $$g(x)$$ возрастает. Поэтому уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=0$$:

$$\sin 0-2\cos 0-8\cdot 0=0-2-0=-2,$$

$$0^5-2=-2.$$

Следовательно, $$x=0$$ — корень уравнения, а так как корень единственный, то это и есть решение.

б) Рассмотрим функции $$f(x)=4\cos 3x+5\sin \frac{x}{2}+15x$$ и $$g(x)=4-x^3.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=-12\sin 3x+\frac{5}{2}\cos \frac{x}{2}+15,$$

$$g'(x)=-3x^2.$$

Так как $$-12\sin 3x\ge -12,$$ $$\frac{5}{2}\cos \frac{x}{2}\ge -\frac{5}{2},$$ то

$$f'(x)\ge -12-\frac{5}{2}+15=\frac{1}{2}>0.$$

Значит, $$f(x)$$ возрастает. Кроме того, $$g'(x)=-3x^2\le 0,$$ значит, $$g(x)$$ убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Проверим $$x=0$$:

$$4\cos 0+5\sin 0+15\cdot 0=4+0+0=4,$$

$$4-0^3=4.$$

Значит, $$x=0$$ — корень уравнения, и он единственный.

Ответ

а) $$x=0$$; б) $$x=0$$.