Упр.44.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (х — 1)2(x + 2); 6) y = 256/9 x(x — 1)3; в) у = (х + 2)2(х — 3); г) у = х3(2 — х).
а) $$y=(x-1)^2(x+2)$$
Найдём производную:
$$ y’=\bigl((x-1)^2(x+2)\bigr)’=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2 $$
$$ y’=(x-1)\bigl(2(x+2)+(x-1)\bigr)=(x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1) $$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
Знак производной:
$$ y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),\qquad y'<0 \text{ при } x\in(-1;1) $$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1]$$.
Найдём значения в точках экстремума:
$$ y(-1)=(-1-1)^2(-1+2)=4,\qquad y(1)=(1-1)^2(1+2)=0 $$
б) $$y=\frac{256}{9}x(x-1)^3$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{256}{9}\bigl((x-1)^3+3x(x-1)^2\bigr) $$
$$ y’=\frac{256}{9}(x-1)^2\bigl((x-1)+3x\bigr)=\frac{256}{9}(x-1)^2(4x-1) $$
Критические точки: $$x=\frac14$$ и $$x=1$$.
Так как $$\frac{256}{9}(x-1)^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$4x-1$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac14]$$ и возрастает на $$[\frac14;+\infty)$$.
Найдём значение в точке минимума:
$$ y\!\left(\frac14\right)=\frac{256}{9}\cdot\frac14\left(\frac14-1\right)^3 =\frac{256}{36}\cdot\left(-\frac{27}{64}\right)=-3 $$
в) $$y=(x+2)^2(x-3)$$
Найдём производную:
$$ y’=\bigl((x+2)^2(x-3)\bigr)’=2(x+2)(x-3)+(x+2)^2 $$
$$ y’=(x+2)\bigl(2(x-3)+(x+2)\bigr)=(x+2)(3x-4) $$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac43$$.
Знак производной:
$$ y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac43;+\infty\right),\qquad y'<0 \text{ при } x\in\left(-2;\frac43\right) $$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac43;+\infty\right)$$ и убывает на $$\left[-2;\frac43\right]$$.
Найдём значения в точках экстремума:
$$ y(-2)=0,\qquad y\!\left(\frac43\right)=\left(\frac43+2\right)^2\left(\frac43-3\right) =\left(\frac{10}{3}\right)^2\left(-\frac53\right)=-\frac{500}{27} $$
г) $$y=x^3(2-x)$$
Найдём производную:
$$ y’=(x^3(2-x))’=3x^2(2-x)-x^3 $$
$$ y’=6x^2-4x^3=2x^2(3-2x) $$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac32$$.
Так как $$2x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$3-2x$$.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\frac32]$$ и убывает на $$[\frac32;+\infty)$$.
Найдём значение в точке максимума:
$$ y\!\left(\frac32\right)=\left(\frac32\right)^3\left(2-\frac32\right) =\frac{27}{8}\cdot\frac12=\frac{27}{16} $$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$; $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
б) возрастает на $$\left[\frac14;+\infty\right)$$, убывает на $$(-\infty;\frac14]$$; $$x=\frac14$$ — точка минимума.
в) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac43;+\infty\right)$$, убывает на $$\left[-2;\frac43\right]$$; $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=\frac43$$ — точка минимума.
г) возрастает на $$(-\infty;\frac32]$$, убывает на $$[\frac32;+\infty)$$; $$x=\frac32$$ — точка максимума.
