Упр.44.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = -х4 + 5х2 — 4; б) у = х5 — 5х; в) у = 2×4 — 9×2 + 7; г) у = 5×3 — Зх5.
а) $$y=-x^4+5x^2-4$$
Найдём производную:
$$y’=-4x^3+10x=2x(5-2x^2).$$
Критические точки:
$$2x(5-2x^2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm \sqrt{\frac52}=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in\left[-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right]\cup\left[0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right),$$
убывает на $$\left[-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right).$$
$$y(0)=-4,$$
$$y\!\left(\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\right)=-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\cdot \frac52-4=\frac94.$$
Значит, $$x=0$$ — точка минимума, а $$x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$ — точки максимума.
б) $$y=x^5-5x$$
Найдём производную:
$$y’=5x^4-5=5(x^4-1)=5(x^2-1)(x^2+1)=5(x-1)(x+1)(x^2+1).$$
Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак $$y’$$ определяется множителем $$x^2-1.$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in[-1;1].$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$
убывает на $$[-1;1].$$
$$y(-1)=4,\qquad y(1)=-4.$$
Значит, $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
в) $$y=2x^4-9x^2+7$$
Найдём производную:
$$y’=8x^3-18x=2x(4x^2-9)=2x(2x-3)(2x+3).$$
Критические точки:
$$x=0,\; x=\pm \frac32.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in\left[-\frac32;0\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup\left[0;\frac32\right].$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac32;0\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right),$$
убывает на $$\left(-\infty;-\frac32\right]\cup\left[0;\frac32\right].$$
$$y(0)=7,$$
$$y\!\left(\pm \frac32\right)=2\cdot \frac{81}{16}-9\cdot \frac94+7=-\frac{25}{8}.$$
Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\pm \frac32$$ — точки минимума.
г) $$y=5x^3-3x^5$$
Найдём производную:
$$y’=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$
Так как $$15x^2\ge 0,$$ то знак производной определяется множителем $$1-x^2.$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-1;1),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1],$$
убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
$$y(-1)=-2,\qquad y(1)=2.$$
Значит, $$x=1$$ — точка максимума, $$x=-1$$ — точка минимума.
Ответ
а) возрастает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right]\cup\left[0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right),$$ убывает на $$\left[-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right);$$
$$x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
б) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1];$$
$$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
в) возрастает на $$\left[-\frac32;0\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac32\right]\cup\left[0;\frac32\right];$$
$$x=0$$ — точка максимума, $$x=\pm \frac32$$ — точки минимума.
г) возрастает на $$[-1;1],$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty);$$
$$x=1$$ — точка максимума, $$x=-1$$ — точка минимума.
