Упр.44.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = 2×3 + x2 — 2x — 1; б) y = — x3/3+ x2 + 3х — 11/3; в) у = х3 + x2 — х — 1; г) y = x3/3 + x2 — 3x + 5/3

1. а) $$y=2x^3+x^2-2x-1$$

   Найдём производную:

   $$y’=6x^2+2x-2=2(3x^2+x-1).$$

   Критические точки:

   $$6x^2+2x-2=0,$$

   $$3x^2+x-1=0,$$

   $$D=1+12=13,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}.$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ в производной положителен, то $$y’>0$$ вне корней и $$y'<0$$ между ними.

   Следовательно, функция возрастает на

   $$\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{6}\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt{13}}{6};+\infty\right),$$

   убывает на

   $$\left[\frac{-1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6}\right].$$

   Точка максимума соответствует левому корню, точка минимума — правому.

2. б) $$y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$$

   Найдём производную:

   $$y’=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3).$$

   Критические точки:

   $$-(x+1)(x-3)=0,$$

   $$x=-1,\; x=3.$$

   Так как $$y’>0$$ на промежутке $$[-1;3]$$ и $$y'<0$$ вне его, то функция возрастает на

   $$[-1;3],$$

   убывает на

   $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$

   Точка минимума: $$x=-1$$, точка максимума: $$x=3$$.

3. в) $$y=x^3+x^2-x-1$$

   Найдём производную:

   $$y’=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).$$

   Критические точки:

   $$3x^2+2x-1=0,$$

   $$x=-1,\; x=\frac13.$$

   Знак производной меняется так: $$y’>0$$ вне корней и $$y'<0$$ между ними.

   Значит, функция возрастает на

   $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right),$$

   убывает на

   $$\left[-1;\frac13\right].$$

   Точка максимума: $$x=-1$$, точка минимума: $$x=\frac13$$.

4. г) $$y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac53$$

   Найдём производную:

   $$y’=x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$

   Критические точки:

   $$x^2+2x-3=0,$$

   $$x=-3,\; x=1.$$

   Так как $$y’>0$$ вне корней и $$y'<0$$ между ними, то функция возрастает на

   $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty),$$

   убывает на

   $$[-3;1].$$

   Точка максимума: $$x=-3$$, точка минимума: $$x=1$$.

Ответ

а) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{6}\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt{13}}{6};+\infty\right)$$, убывает на $$\left[\frac{-1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6}\right]$$;
б) возрастает на $$[-1;3]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$;
в) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right)$$, убывает на $$\left[-1;\frac13\right]$$;
г) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;1]$$.