Упр.44.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х3 — Зх2 + 2; б) у = -х3 + 4х — 3; в) у = -х3 + 4х2 — 3; г) у = х3 — Зх + 2.
а) $$y=x^3-3x^2+2$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3)’-(3x^2)’+(2)’=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.
Исследуем знак производной:
$$3x(x-2)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$.
$$y(0)=2,\qquad y(2)=8-12+2=-2.$$
Следовательно, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
б) $$y=-x^3+4x-3$$
Найдём производную:
$$y’=-(x^3)’+(4x)’-3’=-3x^2+4.$$
Промежутки возрастания:
$$-3x^2+4\ge 0 \;\Rightarrow\; 3x^2\le 4 \;\Rightarrow\; x^2\le \frac{4}{3} \;\Rightarrow\; -\frac{2}{\sqrt3}\le x\le \frac{2}{\sqrt3}.$$
Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac{2}{\sqrt3};\frac{2}{\sqrt3}\right]$$ и убывает на $$\left(-\infty;-\frac{2}{\sqrt3}\right]\cup\left[\frac{2}{\sqrt3};+\infty\right).$$
$$x=-\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка минимума, $$x=\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка максимума.
в) $$y=-x^3+4x^2-3$$
Найдём производную:
$$y’=-(x^3)’+4(x^2)’-3’=-3x^2+8x= x(8-3x).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{8}{3}.$$
Промежутки возрастания:
$$x(8-3x)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in\left[0;\frac{8}{3}\right].$$
Значит, функция возрастает на $$\left[0;\frac{8}{3}\right]$$ и убывает на $$\left(-\infty;0\right]\cup\left[\frac{8}{3};+\infty\right).$$
$$y(0)=-3,$$
$$y\!\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{512}{27}+4\cdot\frac{64}{9}-3=\frac{175}{27}.$$
Следовательно, $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка максимума.
г) $$y=x^3-3x+2$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3)’- (3x)’+2’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
Промежутки возрастания:
$$3x^2-3\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2\ge 1 \;\Rightarrow\; x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$
$$y(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=4,$$
$$y(1)=1-3+2=0.$$
Следовательно, $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$; $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
б) возрастает на $$\left[-\frac{2}{\sqrt3};\frac{2}{\sqrt3}\right]$$, убывает на $$\left(-\infty;-\frac{2}{\sqrt3}\right]\cup\left[\frac{2}{\sqrt3};+\infty\right)$$; $$x=-\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка минимума, $$x=\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка максимума.
в) возрастает на $$\left[0;\frac{8}{3}\right]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{8}{3};+\infty\right)$$; $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка максимума.
г) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$; $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
