Упр.44.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график: a) у = Зх2 — 4х + 5; б) у = 3 + 2х — х2; в) у = 7 — х — 2х2; г) у = 5х2 — 15х — 4.
а) $$y=3x^2-4x+5$$
$$y’=6x-4$$
Найдём критическую точку:
$$6x-4=0,\quad x=\frac23$$
При $$x<\frac23$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает, а при $$x>\frac23$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.
Вершина параболы:
$$y\!\left(\frac23\right)=3\cdot\frac49-4\cdot\frac23+5=\frac{33}{9}=\frac{11}{3}$$
Следовательно, точка минимума: $$\left(\frac23;\frac{11}{3}\right)$$.
б) $$y=3+2x-x^2$$
$$y’=2-2x$$
Найдём критическую точку:
$$2-2x=0,\quad x=1$$
При $$x<1$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает, а при $$x>1$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает.
Вершина параболы:
$$y(1)=3+2\cdot1-1^2=4$$
Следовательно, точка максимума: $$\left(1;4\right)$$.
в) $$y=7-x-2x^2$$
$$y’=-1-4x$$
Найдём критическую точку:
$$-1-4x=0,\quad x=-\frac14$$
При $$x<-\frac14$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает, а при $$x>-\frac14$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает.
Вершина параболы:
$$y\!\left(-\frac14\right)=7+\frac14-2\cdot\frac1{16}=\frac{57}{8}$$
Следовательно, точка максимума: $$\left(-\frac14;\frac{57}{8}\right)$$.
г) $$y=5x^2-15x-4$$
$$y’=10x-15$$
Найдём критическую точку:
$$10x-15=0,\quad x=\frac32$$
При $$x<\frac32$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает, а при $$x>\frac32$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.
Вершина параболы:
$$y\!\left(\frac32\right)=5\cdot\frac94-15\cdot\frac32-4=-\frac{61}{4}$$
Следовательно, точка минимума: $$\left(\frac32;-\frac{61}{4}\right)$$.
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;\frac23]$$, возрастает на $$[\frac23;+\infty)$$; минимум при $$x=\frac23$$, $$y_{\min}=\frac{11}{3}$$.
б) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; максимум при $$x=1$$, $$y_{\max}=4$$.
в) возрастает на $$(-\infty;-\frac14]$$, убывает на $$[-\frac14;+\infty)$$; максимум при $$x=-\frac14$$, $$y_{\max}=\frac{57}{8}$$.
г) убывает на $$(-\infty;\frac32]$$, возрастает на $$[\frac32;+\infty)$$; минимум при $$x=\frac32$$, $$y_{\min}=-\frac{61}{4}$$.
