Упр.44.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = |x3 — 3x|; б) у = |х — х3|.

а) $$y=\lvert x^3-3x\rvert$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$x^3-3x\ge 0$$
$$x(x^2-3)\ge 0$$
$$x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\ge 0$$
$$x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty)$$

Тогда

$$ y= \begin{cases} x^3-3x, & x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty),\\ 3x-x^3, & x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(0;\sqrt3). \end{cases} $$

Исследуем каждую часть по производной.

Для $$y=x^3-3x$$:
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)$$
$$y’\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

Для $$y=3x-x^3$$:
$$y’=3-3x^2=3(1-x^2)$$
$$y’\ge 0 \iff -1\le x\le 1.$$

С учётом промежутков, где задана каждая ветвь, получаем:

возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty)$$,

убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3].$$

Точки максимума: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Точки минимума: $$x=-\sqrt3,\ x=0,\ x=\sqrt3.$$

б) $$y=\lvert x-x^3\rvert$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$x-x^3\ge 0$$
$$x(1-x^2)\ge 0$$
$$x(1-x)(1+x)\ge 0$$
$$x\in(-\infty;-1]\cup[0;1].$$

Тогда

$$ y= \begin{cases} x-x^3, & x\in(-\infty;-1]\cup[0;1],\\ x^3-x, & x\in(-1;0)\cup(1;+\infty). \end{cases} $$

Исследуем производные:

для $$y=x-x^3$$:
$$y’=1-3x^2,$$
$$y’\ge 0 \iff -\frac1{\sqrt3}\le x\le \frac1{\sqrt3};$$

для $$y=x^3-x$$:
$$y’=3x^2-1,$$
$$y’\ge 0 \iff x\le -\frac1{\sqrt3}\ \text{или}\ x\ge \frac1{\sqrt3}.$$

С учётом областей определения ветвей получаем:

возрастает на $$[-1;-\frac1{\sqrt3}]\cup[0;\frac1{\sqrt3}]\cup[1;+\infty),$$

убывает на $$(-\infty;-1]\cup[-\frac1{\sqrt3};0]\cup[\frac1{\sqrt3};1].$$

Точки максимума: $$x=-\frac1{\sqrt3}$$ и $$x=\frac1{\sqrt3}.$$

Точки минимума: $$x=-1,\ x=0,\ x=1.$$

Ответ

а) возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3]$$; точки максимума: $$x=-1,\ x=1$$; точки минимума: $$x=-\sqrt3,\ x=0,\ x=\sqrt3$$.

б) возрастает на $$[-1;-\frac1{\sqrt3}]\cup[0;\frac1{\sqrt3}]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[-\frac1{\sqrt3};0]\cup[\frac1{\sqrt3};1]$$; точки максимума: $$x=-\frac1{\sqrt3},\ x=\frac1{\sqrt3}$$; точки минимума: $$x=-1,\ x=0,\ x=1$$.