Упр.44.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = |x — 3| — 2; б) у = |1/x — 1|; в) у = |(х — 2)(x + 3)|; г) y = (|x| — 2)|х|.

1. а) $$y=|x-3|-2$$

   Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, значит $$y=x-5$$.

   Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, значит $$y=1-x$$.

   Тогда

   $$ y= \begin{cases} x-5, & x\ge 3,\\ 1-x, & x<3. \end{cases} $$

   На $$(-\infty;3)$$ функция $$y=1-x$$ убывает, а на $$[3;+\infty)$$ функция $$y=x-5$$ возрастает.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$, минимум достигается при $$x=3$$.

2. б) $$y=\left|\frac{1}{x}-1\right|$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   Найдём, где $$\frac{1}{x}-1\ge 0$$:

   $$ \frac{1}{x}-1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1-x}{x}\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 0<x\le 1. $$

   Тогда

   $$ y= \begin{cases} \frac{1}{x}-1, & 0<x\le 1,\\ 1-\frac{1}{x}, & x<0 \text{ или } x>1. \end{cases} $$

   На $$(-\infty;0)$$ функция $$1-\frac{1}{x}$$ возрастает, на $$[0;1]$$ функция $$\frac{1}{x}-1$$ убывает, на $$[1;+\infty)$$ функция $$1-\frac{1}{x}$$ возрастает.

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0) \cup [1;+\infty)$$ и убывает на $$(0;1]$$, минимум достигается при $$x=1$$.

3. в) $$y=\left|(x-2)(x+3)\right|$$

   Найдём, где $$ (x-2)(x+3)\ge 0$$:

   $$ (x-2)(x+3)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le -3 \text{ или } x\ge 2. $$

   Тогда

   $$ y= \begin{cases} (x-2)(x+3), & x\le -3 \text{ или } x\ge 2,\\ -(x-2)(x+3), & -3<x<2. \end{cases} $$

   При $$x\le -3$$ или $$x\ge 2$$ имеем $$y=x^2+x-6$$, и

   $$y’ = 2x+1.$$

   При $$-3<x<2$$ имеем $$y=-x^2-x+6$$, и

   $$y’ = -2x-1.$$

   Из знака производной получаем: функция возрастает на $$[-3;-\frac12] \cup [2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-3] \cup [-\frac12;2]$$.

   Точка максимума: $$x=-\frac12$$.

   Точки минимума: $$x=-3$$ и $$x=2$$.

4. г) $$y=(|x|-2)|x|$$

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и $$y=(x-2)x=x^2-2x$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и $$y=(-x-2)(-x)=x^2+2x$$.

   Тогда

   $$ y= \begin{cases} x^2-2x, & x\ge 0,\\ x^2+2x, & x<0. \end{cases} $$

   Для $$x\ge 0$$:

   $$y’ = 2x-2,$$

   поэтому функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.

   Для $$x<0$$:

   $$y’ = 2x+2,$$

   поэтому функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;0)$$.

   Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0] \cup [1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1] \cup [0;1]$$.

   Точка максимума: $$x=0$$.

   Точки минимума: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$, $$x=3$$ — точка минимума;
б) возрастает на $$(-\infty;0) \cup [1;+\infty)$$, убывает на $$(0;1]$$, $$x=1$$ — точка минимума;
в) возрастает на $$[-3;-\frac12] \cup [2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-3] \cup [-\frac12;2]$$, $$x=-\frac12$$ — точка максимума, $$x=-3$$ и $$x=2$$ — точки минимума;
г) возрастает на $$[-1;0] \cup [1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1] \cup [0;1]$$, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=-1$$ и $$x=1$$ — точки минимума.