Упр.44.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х — sin 2х; б) у = х + 4 cos x/2
а) $$y=x-\sin 2x$$
Найдём производную:
$$y’=(x)’-(\sin 2x)’=1-2\cos 2x.$$
Исследуем знак производной:
$$1-2\cos 2x<0$$
$$2\cos 2x>1$$
$$\cos 2x>\frac12.$$
Отсюда
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значит, функция возрастает там, где $$y’>0$$, и убывает там, где $$y'<0$$:
$$\text{возрастает на } \left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right],$$
$$\text{убывает на } \left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right].$$
Точки максимума и минимума:
$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n \text{ — точки максимума},$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n \text{ — точки минимума}.$$
б) $$y=x+4\cos\frac{x}{2}$$
Найдём производную:
$$y’=(x)’+4\left(\cos\frac{x}{2}\right)’=1+4\left(-\frac12\sin\frac{x}{2}\right)=1-2\sin\frac{x}{2}.$$
Исследуем знак производной:
$$1-2\sin\frac{x}{2}<0$$
$$2\sin\frac{x}{2}>1$$
$$\sin\frac{x}{2}>\frac12.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
$$\frac{\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно, функция
$$\text{возрастает на } \left[-\frac{7\pi}{3}+4\pi n;\,\frac{\pi}{3}+4\pi n\right],$$
$$\text{убывает на } \left[\frac{\pi}{3}+4\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+4\pi n\right].$$
Точки экстремума:
$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n \text{ — точки максимума},$$
$$x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n \text{ — точки минимума}.$$
Ответ
а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right]$$; $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки максимума, $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки минимума.
б) возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{3}+4\pi n;\,\frac{\pi}{3}+4\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+4\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+4\pi n\right]$$; $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n$$ — точки максимума, $$x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n$$ — точки минимума.
