Упр.44.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: a) у = sin х — 1/2 х; б) у = x/2 — cos x; в) у = 1/корень2 х + cos х; г) y = х — sin х.

1. а) $$y=\sin x-\frac12 x$$

   Найдём производную:

   $$y’=\cos x-\frac12.$$

   Функция возрастает, когда $$y’\ge 0$$:

   $$\cos x-\frac12\ge 0,\quad \cos x\ge \frac12.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right].$$

   Точки максимума: $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Точки минимума: $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2. б) $$y=\frac{x}{2}-\cos x$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac12+\sin x.$$

   Функция убывает, когда $$y’\le 0$$:

   $$\frac12+\sin x\le 0,\quad \sin x\le -\frac12.$$

   Отсюда

   $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right].$$

   Точки максимума: $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Точки минимума: $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

3. в) $$y=\frac{1}{\sqrt2}x+\cos x$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{1}{\sqrt2}-\sin x.$$

   Функция убывает, когда $$y’\le 0$$:

   $$\frac{1}{\sqrt2}-\sin x\le 0,\quad \sin x\ge \frac{1}{\sqrt2}.$$

   Отсюда

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right].$$

   Точки максимума: $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Точки минимума: $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

4. г) $$y=x-\sin x$$

   Найдём производную:

   $$y’=1-\cos x.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$1-\cos x\ge 0$$ при любом $$x\in\mathbb R.$$

   Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

а) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right]$$; максимум при $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, минимум при $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$.
б) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right]$$; максимум при $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$, минимум при $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$.
в) возрастает на $$\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right]$$; максимум при $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, минимум при $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$.
г) функция возрастает на всей числовой прямой.