Упр.44.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: a) у = |x4 + 1| + |х4 — 1| + 2×3; б) у = |x3 — 8| + |х3 — 1| — x2.

Подробный ответ

а) $$y=|x^4+1|+|x^4-1|+2x^3.$$

Так как $$x^4+1>0$$ при любом $$x,$$ а $$x^4-1\ge 0$$ при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1,$$ то

$$ y= \begin{cases} x^4+1+x^4-1+2x^3=2x^4+2x^3, & x\le -1 \text{ или } x\ge 1,\\ x^4+1-(x^4-1)+2x^3=2+2x^3, & -1<x<1. \end{cases} $$

1) При $$x\le -1$$ или $$x\ge 1$$:

$$ y’ = 8x^3+6x^2=2x^2(4x+3). $$

На этом промежутке $$y'<0$$ при $$x<-\frac34$$ и $$y’>0$$ при $$x>-\frac34.$$ Значит, в точке $$x=-1$$ функция убывает слева и возрастает справа, то есть это точка минимума.

2) При $$-1<x<1$$:

$$ y’=6x^2\ge 0, $$
значит, на этом промежутке функция возрастает.

Следовательно, при переходе через $$x=1$$ функция также возрастает по обе стороны, поэтому экстремума там нет.

б) $$y=|x^3-8|+|x^3-1|-x^2.$$

Рассмотрим промежутки, где меняются знаки выражений под модулем: $$x=1$$ и $$x=2.$$ Тогда

$$ y= \begin{cases} x^3-8+x^3-1-x^2=2x^3-x^2-9, & x\ge 2,\\ -(x^3-8)+x^3-1-x^2=7-x^2, & 1\le x<2,\\ -(x^3-8)-(x^3-1)-x^2=-2x^3-x^2+9, & x<1. \end{cases} $$

1) Если $$x\ge 2,$$ то

$$ y’=6x^2-2x=2x(3x-1)>0, $$
значит, функция возрастает.

2) Если $$1\le x<2,$$ то

$$ y’=-2x<0, $$
значит, функция убывает.

3) Если $$x<1,$$ то

$$ y’=-6x^2-2x=-2x(3x+1). $$

Отсюда $$y’>0$$ при $$-\frac13<x<0,$$ а $$y'<0$$ при $$x<-\frac13$$ и при $$0<x<1.$$ Значит, в точке $$x=-\frac13$$ — минимум, а в точке $$x=0$$ — максимум.

В точке $$x=2$$ функция переходит от убывания к возрастанию, значит, это точка минимума.