Упр.44.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Производная функции у = ах2 + 7х + 1 в точке х0 равна с. Найдите точку экстремума функции и определите, является она точкой максимума или точкой минимума, если: a) х0 = 0,5, с = 15; б) х0 = 3, с = -5; в) х0 = -1, с = 9; г) x0 = -0,5, с = 7,1.
Найдём производную функции:
$$y=ax^2+7x+1,$$
$$y’=2ax+7.$$
По условию в точке $$x_0$$ производная равна $$c$$, значит
$$2ax_0+7=c,$$
откуда
$$a=\frac{c-7}{2x_0}.$$
Точка экстремума квадратичной функции находится из уравнения
$$2ax+7=0,$$
то есть
$$x_{\text{экстр}}=-\frac{7}{2a}.$$
Если $$a>0$$, то это точка минимума, если $$a<0$$ — точка максимума.
$$x_0=0{,}5,\quad c=15.$$
$$a=\frac{15-7}{2\cdot 0{,}5}=8.$$
Тогда
$$x_{\text{экстр}}=-\frac{7}{2\cdot 8}=-\frac{7}{16}.$$
Так как $$a>0$$, это точка минимума.
$$x_0=3,\quad c=-5.$$
$$a=\frac{-5-7}{2\cdot 3}=-2.$$
Тогда
$$x_{\text{экстр}}=-\frac{7}{2\cdot (-2)}=\frac{7}{4}.$$
Так как $$a<0$$, это точка максимума.
$$x_0=-1,\quad c=9.$$
$$a=\frac{9-7}{2\cdot (-1)}=-1.$$
Тогда
$$x_{\text{экстр}}=-\frac{7}{2\cdot (-1)}=\frac{7}{2}=3{,}5.$$
Так как $$a<0$$, это точка максимума.
$$x_0=-0{,}5,\quad c=7{,}1.$$
$$a=\frac{7{,}1-7}{2\cdot (-0{,}5)}=-0{,}1.$$
Тогда
$$x_{\text{экстр}}=-\frac{7}{2\cdot (-0{,}1)}=35.$$
Так как $$a<0$$, это точка максимума.
Ответ
а) $$x=-\frac{7}{16}$$ — точка минимума; б) $$x=\frac{7}{4}$$ — точка максимума; в) $$x=\frac{7}{2}$$ — точка максимума; г) $$x=35$$ — точка максимума.
