Упр.44.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что заданная функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума: a) у = 1/3 х3 + 2х2 + 4х — 12; б) у = -1/3 x3 + 3/2 х2 — Зх + 9; в) у = 1/5 х5 + 1/3 х3 + х — 7; г) у = -х3 — х5 + 27.
Точки экстремума возможны только в тех точках, где $$y’=0$$ или производная не существует. Для многочленов производная существует при всех $$x$$, поэтому достаточно показать, что $$y’$$ не обращается в нуль или не меняет знак.
$$y=\frac13x^3+2x^2+4x-12$$
$$y’ = x^2+4x+4=(x+2)^2$$
$$y’ \ge 0$$ при всех $$x$$, причём $$y’=0$$ только при $$x=-2$$. Знак производной не меняется, значит, точек экстремума нет.
$$y=-\frac13x^3+\frac32x^2-3x+9$$
$$y’=-x^2+3x-3=-(x^2-3x+3)$$
Рассмотрим квадратное уравнение:
$$x^2-3x+3=0$$
$$D=9-12=-3<0$$
Следовательно, $$x^2-3x+3>0$$ при всех $$x$$, значит $$y’<0$$ при всех $$x$$. Производная не меняет знак, поэтому точек экстремума нет.
$$y=\frac15x^5+\frac13x^3+x-7$$
$$y’=x^4+x^2+1$$
Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0$$, то
$$y’=x^4+x^2+1>0$$ при всех $$x$$.
Производная всегда положительна, значит, функция не имеет точек максимума и минимума.
$$y=-x^3-x^5+27$$
$$y’=-3x^2-5x^4=-(3x^2+5x^4)$$
Так как $$3x^2\ge 0$$ и $$5x^4\ge 0$$, то
$$y’\le 0$$ при всех $$x$$.
Причём $$y’=0$$ только при $$x=0$$, и знак производной не меняется. Следовательно, точек экстремума нет.
Ответ
Во всех пунктах $$a)$$–$$г)$$ функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума.
