Упр.44.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = arcsin х2; б) у = 3 arcctg корень x; в) у = arccos х2; г) y = arctg корень2х.

Подробный ответ

а) $$y=\arcsin x^2$$
Область определения: $$-1\le x^2\le 1,$$ значит $$-1\le x\le 1.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\cdot 2x=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$2x.$$
$$y'<0 \text{ при } x<0,\qquad y’=0 \text{ при } x=0,\qquad y’>0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, в точке $$x=0$$ функция убывает слева и возрастает справа, значит это точка минимума.
б) $$y=3\operatorname{arcctg}\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Производная:
$$y’=3\left(\operatorname{arcctg}\sqrt{x}\right)’=3\cdot\left(-\frac{1}{1+x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{3}{2(1+x)\sqrt{x}}.$$
При $$x>0$$ имеем $$y'<0,$$ то есть функция убывает на всей области определения и точек экстремума не имеет.
в) $$y=\arccos x^2$$
Область определения: $$-1\le x^2\le 1,$$ значит $$-1\le x\le 1.$$
Производная:
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\cdot 2x=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.$$
Знаменатель положителен, поэтому
$$y’>0 \text{ при } x<0,\qquad y’=0 \text{ при } x=0,\qquad y'<0 \text{ при } x>0.$$
Значит, в точке $$x=0$$ функция возрастает слева и убывает справа, то есть это точка максимума.
г) $$y=\arctg\sqrt{2x}$$
Область определения: $$2x\ge 0,$$ то есть $$x\ge 0.$$
Производная:
$$y’=\frac{1}{1+2x}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x}}=\frac{1}{(1+2x)\sqrt{2x}}.$$
При $$x>0$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает на всей области определения и точек экстремума не имеет.