Упр.44.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (x3 — 27x)3; б) у = корень(x3 — 27x); в) у = (х3 — Зх2)4; г) у = корень(x3 — Зх2).
а) $$y=(x^3-27x)^3$$
Пусть $$u=x^3-27x$$, тогда $$y=u^3$$.
$$y’ = 3u^2 \cdot u’ = 3(x^3-27x)^2(3x^2-27)=3(x^3-27x)^2\cdot 3(x^2-9).$$
$$y’ = 9(x^3-27x)^2(x^2-9).$$
Так как $$x^3-27x=x(x-3)(x+3)$$, то знак производной определяется множителем $$x^2-9$$.
$$y’ \ge 0 \iff x^2-9 \ge 0 \iff x \le -3 \text{ или } x \ge 3.$$
Следовательно, функция возрастает при $$x \le -3$$ и $$x \ge 3$$, а в точках $$x=-3$$ и $$x=3$$ меняет характер монотонности.
Ответ: $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.
б) $$y=\sqrt{x^3-27x}$$
Пусть $$u=x^3-27x$$, тогда $$y=\sqrt{u}$$.
$$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{3x^2-27}{2\sqrt{x^3-27x}}=\frac{3(x^2-9)}{2\sqrt{x^3-27x}}.$$
Для существования функции нужно:
$$x^3-27x \ge 0 \iff x(x-3)(x+3)\ge 0.$$
Отсюда область определения:
$$x \in [-3,0] \cup [3,+\infty).$$
На области определения производная положительна там, где $$x^2-9>0$$, то есть при $$x<-3$$ или $$x>3$$, но с учётом ОДЗ остаётся только промежуток $$x>3$$.
В точке $$x=-3$$ функция имеет локальный максимум, а в точке $$x=3$$ — локальный минимум.
Ответ: $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.
в) $$y=(x^3-3x^2)^4$$
Пусть $$u=x^3-3x^2$$, тогда $$y=u^4$$.
$$y’ = 4u^3 \cdot u’ = 4(x^3-3x^2)^3(3x^2-6x)=4(x^3-3x^2)^3\cdot 3x(x-2).$$
$$y’ = 12(x^3-3x^2)^3x(x-2).$$
Так как $$x^3-3x^2=x^2(x-3)$$, то
$$y’ = 12x^7(x-3)^3(x-2).$$
Знак производной меняется в точках $$x=0,2,3$$. По промежуткам получаем:
$$y’ \ge 0 \text{ при } 0 \le x \le 2 \text{ и } x \ge 3.$$
Ответ: $$x=2$$ — точка максимума; $$x=0$$ и $$x=3$$ — точки минимума.
г) $$y=\sqrt{x^3-3x^2}$$
Пусть $$u=x^3-3x^2$$, тогда $$y=\sqrt{u}$$.
$$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{3x^2-6x}{2\sqrt{x^3-3x^2}}=\frac{3x(x-2)}{2\sqrt{x^3-3x^2}}.$$
Для существования функции нужно:
$$x^3-3x^2 \ge 0 \iff x^2(x-3)\ge 0 \iff x \ge 3 \text{ или } x=0.$$
На области определения производная обращается в нуль при $$x=0$$ и $$x=2$$, но точка $$x=2$$ не принадлежит области определения, а в точке $$x=0$$ функция не имеет окрестности внутри области определения.
Ответ: точек экстремума нет.
