Упр.44.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х — 2 cos х, х € [-пи, пи]; б) y = 2 sin х — х, х € [пи, Зпи].

Подробный ответ

а) $$y=x-2\cos x,\quad x\in[-\pi;\pi].$$

Найдём производную:

$$y’=(x)’ — 2(\cos x)’ = 1 + 2\sin x.$$

Критические точки:

$$1+2\sin x=0,$$

$$\sin x=-\frac12.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ это выполняется при

$$x=-\frac{5\pi}{6},\quad x=-\frac{\pi}{6}.$$

Проверим знак производной:

$$y'<0 \text{ при } x\in\left[-\pi;-\frac{5\pi}{6}\right),$$

$$y’>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{6};\pi\right].$$

Значит, в точке $$x=-\frac{5\pi}{6}$$ функция меняет знак производной с минуса на плюс, то есть имеет минимум, а в точке $$x=-\frac{\pi}{6}$$ — максимум.

б) $$y=2\sin x-x,\quad x\in[\pi;3\pi].$$

Найдём производную:

$$y’ = 2\cos x — 1.$$

Критические точки:

$$2\cos x-1=0,$$

$$\cos x=\frac12.$$

Общие решения:

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[\pi;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{5\pi}{3},\quad x=\frac{7\pi}{3}.$$

Проверим знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in\left[\pi;\frac{5\pi}{3}\right),$$