Упр.44.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х — 2корень(x — 2); б) у = корень(x + 1) + корень(5 — х); в) у = 4корень(2х — 1) — х; г) у = корень х + 2корень(7 — х).

Подробный ответ

а) $$y=x-2\sqrt{x-2}$$
Найдём производную:
$$y’=1-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}}=1-\frac{1}{\sqrt{x-2}}.$$
Для возрастания нужно:
$$1-\frac{1}{\sqrt{x-2}}\ge 0.$$
Тогда
$$\sqrt{x-2}\ge 1 \;\Rightarrow\; x-2\ge 1 \;\Rightarrow\; x\ge 3.$$
Область определения: $$x-2\ge 0,\; x\ge 2.$$
Значит, функция возрастает при $$x\ge 3,$$ и точка минимума: $$x=3.$$
б) $$y=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}.$$
Для возрастания:
$$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\ge 0.$$
После преобразований получаем:
$$\sqrt{5-x}\ge \sqrt{x+1} \;\Rightarrow\; 5-x\ge x+1 \;\Rightarrow\; 4\ge 2x \;\Rightarrow\; x\le 2.$$
Область определения:
$$x+1\ge 0,\quad 5-x\ge 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 5.$$
Следовательно, точка максимума: $$x=2.$$
в) $$y=4\sqrt{2x-1}-x$$
Найдём производную:
$$y’=4\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot 2-1=\frac{4}{\sqrt{2x-1}}-1.$$
Для возрастания:
$$\frac{4}{\sqrt{2x-1}}-1\ge 0.$$
Тогда
$$\frac{4}{\sqrt{2x-1}}\ge 1 \;\Rightarrow\; 4\ge \sqrt{2x-1} \;\Rightarrow\; 16\ge 2x-1 \;\Rightarrow\; 17\ge 2x \;\Rightarrow\; x\le 8{,}5.$$
Область определения:
$$2x-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 0{,}5.$$
Значит, точка максимума: $$x=8{,}5.$$
г) $$y=\sqrt{x}+2\sqrt{7-x}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{7-x}}.$$
Для возрастания:
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{7-x}}\ge 0.$$
После преобразований:
$$\sqrt{7-x}\ge 2\sqrt{x} \;\Rightarrow\; 7-x\ge 4x \;\Rightarrow\; 7\ge 5x \;\Rightarrow\; x\le 1{,}4.$$
Область определения:
$$x\ge 0,\quad 7-x\ge 0 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 7.$$
Следовательно, точка максимума: $$x=1{,}4.$$