Упр.44.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х + 4/x б) у = (x2 + 9)/x

а) $$y=x+\frac{4}{x}$$

Найдём производную:

$$y’ = 1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Критические точки определяются из уравнения $$y’=0$$:

$$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем $$x^2-4.$$

$$ y’>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>2,\\ y'<0 \text{ при } -2<x<0 \text{ и } 0<x<2. $$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (2,+\infty),$$ убывает на $$(-2,0)$$ и $$ (0,2).$$

Значит, при $$x=-2$$ — точка максимума, при $$x=2$$ — точка минимума.

б) $$y=\frac{x^2+9}{x}=x+\frac{9}{x}$$

Найдём производную:

$$y’ = 1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Критические точки:

$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем $$x^2-9.$$

$$ y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>3,\\ y'<0 \text{ при } -3<x<0 \text{ и } 0<x<3. $$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-3)$$ и $$ (3,+\infty),$$ убывает на $$(-3,0)$$ и $$ (0,3).$$

Значит, при $$x=-3$$ — точка максимума, при $$x=3$$ — точка минимума.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (2,+\infty),$$ убывает на $$(-2,0)$$ и $$ (0,2);$$ максимум при $$x=-2,$$ минимум при $$x=2.$$

б) возрастает на $$(-\infty,-3)$$ и $$ (3,+\infty),$$ убывает на $$(-3,0)$$ и $$ (0,3);$$ максимум при $$x=-3,$$ минимум при $$x=3.$$