Упр.44.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = 5х5 — Зx3; б) у = х4 — 4х3 — 8х2 + 13; в) у = х4 — 50×2; г) у = 2х5 + 5х4 — 10х3 + 3.
а) $$y=5x^5-3x^3$$
Найдём производную:
$$y’=25x^4-9x^2=x^2(25x^2-9)=x^2(5x-3)(5x+3).$$
Критические точки: $$x=-\frac35,\;0,\;\frac35.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-\frac35 \text{ и } x>\frac35,\qquad y'<0 \text{ при } -\frac35<x<\frac35.$$
Значит, в точке $$x=-\frac35$$ функция меняет знак производной с «+» на «−», это точка максимума, а в точке $$x=\frac35$$ — с «−» на «+», это точка минимума.
б) $$y=x^4-4x^3-8x^2+13$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x+1)(x-4).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;4.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } x>4,\qquad y'<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } 0<x<4.$$
Следовательно, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=-1$$ и $$x=4$$ — точки минимума.
в) $$y=x^4-50x^2$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-100x=4x(x^2-25)=4x(x-5)(x+5).$$
Критические точки: $$x=-5,\;0,\;5.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } -5<x<0 \text{ и } x>5,\qquad y'<0 \text{ при } x<-5 \text{ и } 0<x<5.$$
Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=-5$$ и $$x=5$$ — точки минимума.
г) $$y=2x^5+5x^4-10x^3+3$$
Найдём производную:
$$y’=10x^4+20x^3-30x^2=10x^2(x^2+2x-3)=10x^2(x+3)(x-1).$$
Критические точки: $$x=-3,\;0,\;1.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>1,\qquad y'<0 \text{ при } -3<x<1,\; x\ne 0.$$
Следовательно, $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
Ответ
а) максимум при $$x=-\frac35$$, минимум при $$x=\frac35$$;
б) максимум при $$x=0$$, минимумы при $$x=-1$$ и $$x=4$$;
в) максимум при $$x=0$$, минимумы при $$x=-5$$ и $$x=5$$;
г) максимум при $$x=-3$$, минимум при $$x=1$$.
