Упр.44.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = x3/3- 5/2 x + 6х — 1; б) у = х3- 27х + 26; в) у = х3 — 7х2 — 5х + 11; г) у = 2х3 — 21×2 + 19.

а) $$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x-1$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{x^3}{3}\right)’-\left(\frac{5}{2}x^2\right)’+(6x-1)’=x^2-5x+6.$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$x^2-5x+6=0$$

$$D=25-24=1,$$

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

Так как $$y’=(x-2)(x-3),$$ то $$y’>0$$ при $$x<2$$ и $$x>3,$$ а $$y'<0$$ при $$2<x<3.$$

Следовательно, $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

б) $$y=x^3-27x+26$$

$$y’=(x^3)’- (27x-26)’=3x^2-27.$$

$$3x^2-27=0$$

$$x^2-9=0$$

$$x^2-9=(x-3)(x+3)=0,$$

$$x=-3,\qquad x=3.$$

Так как $$y’=3(x-3)(x+3),$$ то $$y’>0$$ при $$x<-3$$ и $$x>3,$$ а $$y'<0$$ при $$-3<x<3.$$

Следовательно, $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

в) $$y=x^3-7x^2-5x+11$$

$$y’=(x^3)’-7(x^2)’-5=3x^2-14x-5.$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$3x^2-14x-5=0$$

$$D=14^2+3\cdot 4\cdot 5=196+60=256,$$

$$x_1=\frac{14-16}{6}=-\frac13,\qquad x_2=\frac{14+16}{6}=5.$$

Так как $$y’=3\left(x+\frac13\right)(x-5),$$ то $$y’>0$$ при $$x<-\frac13$$ и $$x>5,$$ а $$y'<0$$ при $$-\frac13<x<5.$$

Следовательно, $$x=-\frac13$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума.

г) $$y=2x^3-21x^2+19$$

$$y’=(2x^3)’-21(x^2)’=6x^2-42x.$$

$$6x^2-42x=0$$

$$6x(x-7)=0,$$

$$x=0,\qquad x=7.$$

Так как $$y’=6x(x-7),$$ то $$y’>0$$ при $$x<0$$ и $$x>7,$$ а $$y'<0$$ при $$0<x<7.$$

Следовательно, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=7$$ — точка минимума.

Ответ

а) $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума;

б) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума;

в) $$x=-\frac13$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума;

г) $$x=0$$ — точка максимума, $$x=7$$ — точка минимума.