Упр.44.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: a) у = 2х2 — 7х + 1; б) у = 3 — 5х — х2; в) у = 4х2 — 6х — 7; г) у = -Зх2 — 12х + 50.

Подробный ответ

Найдём производные функций и определим знак производной по обе стороны от критической точки.

$$y=2x^2-7x+1$$
$$y’=4x-7$$
Критическая точка:
$$4x-7=0,\quad x=\frac{7}{4}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола ветвями вверх, значит в этой точке — минимум.
$$y\left(\frac{7}{4}\right)=2\cdot\left(\frac{7}{4}\right)^2-7\cdot\frac{7}{4}+1=-\frac{41}{8}$$
Точка минимума: $$\left(\frac{7}{4},-\frac{41}{8}\right)$$.
$$y=3-5x-x^2$$
$$y’=-5-2x$$
Критическая точка:
$$-5-2x=0,\quad x=-\frac{5}{2}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола ветвями вниз, значит в этой точке — максимум.
$$y\left(-\frac{5}{2}\right)=3-5\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)-\left(-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{29}{4}$$
Точка максимума: $$\left(-\frac{5}{2},\frac{29}{4}\right)$$.
$$y=4x^2-6x-7$$
$$y’=8x-6$$
Критическая точка:
$$8x-6=0,\quad x=\frac{3}{4}$$
Парабола ветвями вверх, значит в этой точке — минимум.
$$y\left(\frac{3}{4}\right)=4\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-6\cdot\frac{3}{4}-7=-\frac{37}{4}$$
Точка минимума: $$\left(\frac{3}{4},-\frac{37}{4}\right)$$.
$$y=-3x^2-12x+50$$
$$y’=-6x-12$$
Критическая точка:
$$-6x-12=0,\quad x=-2$$
Парабола ветвями вниз, значит в этой точке — максимум.
$$y(-2)=-3\cdot(-2)^2-12\cdot(-2)+50=62$$
Точка максимума: $$(-2,62)$$.