Упр.44.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте эскиз графика функции у = f(x), х € R по графику производной, изображенному на заданном рисунке: a) рис. 127; б) рис. 128; в) рис. 129; г) рис. 130.

Эскиз функции $$y=f(x)$$ строим по графику производной $$y=f'(x)$$.

Используем правило:

• если $$f'(x)>0$$, то функция $$f(x)$$ возрастает;
• если $$f'(x)<0$$, то функция $$f(x)$$ убывает;
• если $$f'(x)=0$$ и производная меняет знак, то в этой точке у функции есть экстремум.

1. а) По графику видно, что производная меняет знак так: сначала $$f'(x)>0$$, затем $$f'(x)<0$$, потом снова $$f'(x)>0$$.

   Значит, функция $$f(x)$$:

   • возрастает до точки $$a$$;
   • убывает на промежутке $$a; b$$;
   • возрастает на промежутке $$b; +\infty$$.

   Следовательно, в точке $$a$$ — локальный максимум, в точке $$b$$ — локальный минимум.

2. б) Здесь $$f'(x)<0$$ на всей области определения, значит функция $$f(x)$$ всюду убывает.

   В точках $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ знак производной не меняется, поэтому экстремумов нет.

3. в) По графику производной:

   • до точки $$a$$ имеем $$f'(x)<0$$, после $$a$$ — $$f'(x)>0$$;
   • в точке $$b$$ знак производной не меняется;
   • до точки $$c$$ $$f'(x)>0$$, после $$c$$ — $$f'(x)<0$$;
   • до точки $$d$$ $$f'(x)<0$$, после $$d$$ — $$f'(x)>0$$.

   Значит, функция $$f(x)$$ убывает до $$a$$, затем возрастает до $$c$$, потом убывает до $$d$$ и снова возрастает.

   Итак, в точке $$a$$ — локальный минимум, в точке $$c$$ — локальный максимум, в точке $$d$$ — локальный минимум.

4. г) Здесь $$f'(x)>0$$ слева от $$a$$, затем $$f'(x)<0$$ на промежутке между $$a$$ и $$c$$, после $$c$$ снова $$f'(x)<0$$ до $$d$$, а затем $$f'(x)>0$$.

   Следовательно, функция $$f(x)$$:

   • возрастает до точки $$a$$;
   • убывает на промежутке $$a; d$$;
   • возрастает после точки $$d$$.

   В точке $$a$$ — локальный максимум, в точке $$d$$ — локальный минимум.

Ответ

а) $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty; a)$$ и $$(b; +\infty)$$, убывает на $$(a; b)$$; максимум в $$a$$, минимум в $$b$$.
б) $$f(x)$$ всюду убывает.
в) $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty; a)$$ и $$(c; d)$$, возрастает на $$(a; c)$$ и $$(d; +\infty)$$; минимум в $$a$$ и $$d$$, максимум в $$c$$.
г) $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty; a)$$ и $$(d; +\infty)$$, убывает на $$(a; d)$$; максимум в $$a$$, минимум в $$d$$.