Упр.44 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) x^2+2x-2v(x^2+2x) = 3;
б) x^2+6x+24=10v(x^2+6x);
в) v(2-x)+ 4/v(2-x)+3 = 2;
г) (3/(v(x+1)+1) +1) +2v(x+1)=5.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=\sqrt{x^2+2x}$$, тогда получаем:
$$y^2-2y=3$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad y_2=\frac{2+4}{2}=3$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\sqrt{x^2+2x}\ge 0$$.
При $$y=3$$ имеем:
$$\sqrt{x^2+2x}=3$$
$$x^2+2x=9$$
$$x^2+2x-9=0$$
$$D=4+36=40$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{40}}{2}=-1\pm\sqrt{10}$$
б) Пусть $$y=\sqrt{x^2+6x}$$, тогда:
$$y^2+24=10y$$
$$y^2-10y+24=0$$
$$D=100-96=4$$
$$y_1=\frac{10-2}{2}=4,\quad y_2=\frac{10+2}{2}=6$$
1) $$\sqrt{x^2+6x}=4$$, тогда
$$x^2+6x=16$$
$$x^2+6x-16=0$$
$$D=36+64=100$$
$$x=\frac{-6\pm 10}{2}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=2$$
2) $$\sqrt{x^2+6x}=6$$, тогда
$$x^2+6x=36$$
$$x^2+6x-36=0$$
$$D=36+144=180$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm 6\sqrt5}{2}=-3\pm 3\sqrt5$$
в) Пусть $$y=\sqrt{2-x}$$, тогда:
$$y+\frac{4}{y+3}=2$$
Умножим на $$y+3$$:
$$y(y+3)+4=2(y+3)$$
$$y^2+3y+4=2y+6$$
$$y^2+y-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad y_2=\frac{-1+3}{2}=1$$
Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\sqrt{2-x}\ge 0$$.
При $$y=1$$:
$$\sqrt{2-x}=1$$
$$2-x=1$$
$$x=1$$
г) Пусть $$y=\sqrt{x+1}$$, тогда:
$$\frac{3}{y+1}+2y=5$$
Умножим на $$y+1$$:
$$3+2y(y+1)=5(y+1)$$
$$3+2y^2+2y=5y+5$$
$$2y^2-3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\quad y_2=\frac{3+5}{4}=2$$
Значение $$y=-\frac12$$ не подходит, так как $$\sqrt{x+1}\ge 0$$.
При $$y=2$$:
$$\sqrt{x+1}=2$$
$$x+1=4$$
$$x=3$$