Упр.44.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку: a) у = х3 — Заx2 + 27х — 5; б) у = х3 — 3ax2 + 75х — 10?

Стационарные точки функции находятся из условия $$y’=0.$$ Чтобы у функции была одна стационарная точка, уравнение для производной должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю.

а) $$y=x^3-3ax^2+27x-5.$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2-6ax+27.$$

Для одной стационарной точки нужно, чтобы квадратное уравнение

$$3x^2-6ax+27=0$$

имело один корень. Тогда

$$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 27=36a^2-324.$$

Приравниваем дискриминант к нулю:

$$36a^2-324=0,$$

$$a^2-9=0,$$

$$a=\pm 3.$$

б) $$y=x^3-3ax^2+75x-10.$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2-6ax+75.$$

Для одной стационарной точки:

$$3x^2-6ax+75=0.$$

Тогда дискриминант равен нулю:

$$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 75=36a^2-900.$$

Решаем уравнение:

$$36a^2-900=0,$$

$$a^2-25=0,$$

$$a=\pm 5.$$

Ответ

а) $$a=\pm 3$$; б) $$a=\pm 5$$.