Упр.44.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каких значениях параметра а функция у = 2х3 -Зх2 + 7 возрастает в интервале (а — 1; а + 1)? б) При каких значениях параметра а функция у = -х3 + 3x + 5 убывает в интервале (a; a + 1/2)

а) $$y=2x^3-3x^2+7.$$

Найдём производную:

$$y’=6x^2-6x=6x(x-1).$$

Функция возрастает там, где $$y’\ge 0$$, то есть при

$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Чтобы функция возрастала на интервале $$(a-1;\,a+1),$$ этот интервал должен целиком лежать в области возрастания. Возможны два случая:

1) $$a-1\ge 1,$$ тогда $$a\ge 2;$$

2) $$a+1\le 0,$$ тогда $$a\le -1.$$

Следовательно,

$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 2.$$

б) $$y=-x^3+3x+5.$$

Найдём производную:

$$y’=-3x^2+3=3(1-x^2).$$

Функция убывает там, где $$y’\le 0,$$ то есть при

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Чтобы функция убывала на интервале $$\left(a;\,a+\frac12\right),$$ этот интервал должен целиком лежать в области убывания. Возможны два случая:

1) $$a\ge 1;$$

2) $$a+\frac12\le -1,$$ откуда

$$a\le -\frac32.$$

Итак,

$$a\le -\frac32 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$

Ответ

а) $$a\le -1,\ a\ge 2.$$
б) $$a\le -\frac32,\ a\ge 1.$$