Упр.44.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а функция у = X3 — Зх: a) убывает на отрезке [а +1; а + 3]; б) возрастает на отрезке [а — 1/2; 2а + 2] в) убывает на отрезке [а — 3; 1/6а + 2/3] г) возрастает на отрезке [а — 2,5; а — 0,5]?

Рассмотрим функцию $$y=x^3-3x.$$

Найдём производную:

$$y’=(x^3)’-(3x)’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Функция возрастает при $$y’>0,$$ то есть на промежутках $$(-\infty;-1] \cup [1;+\infty),$$ и убывает на $$[-1;1].$$

а) Функция убывает на отрезке $$[a+1;\,a+3].$$

Чтобы весь отрезок лежал в промежутке убывания $$[-1;1],$$ нужно:

$$a+1\ge -1,\qquad a+3\le 1.$$

Отсюда:

$$a\ge -2,\qquad a\le -2.$$

Следовательно, $$a=-2.$$

б) Функция возрастает на отрезке $$\left[a-\frac12;\,2a+2\right].$$

Отрезок должен целиком лежать в одном из промежутков возрастания:

$$\left[a-\frac12;\,2a+2\right]\subset (-\infty;-1] \quad \text{или} \quad \left[a-\frac12;\,2a+2\right]\subset [1;+\infty).$$

1) Если отрезок лежит в $$(-\infty;-1],$$ то

$$2a+2\le -1,\qquad a-\frac12\le 2a+2.$$

Получаем:

$$a\le -\frac32,\qquad a\ge -\frac52.$$

Значит, $$-\frac52\le a\le -\frac32.$$

2) Если отрезок лежит в $$[1;+\infty),$$ то

$$a-\frac12\ge 1,\qquad 2a+2\ge 1.$$

Отсюда:

$$a\ge \frac32,\qquad a\ge -\frac12.$$

Значит, $$a\ge \frac32.$$

в) Функция убывает на отрезке $$\left[a-3;\,\frac16a+\frac23\right].$$

Нужно, чтобы весь отрезок лежал в $$[-1;1].$$ Тогда

$$a-3\ge -1,\qquad \frac16a+\frac23\le 1.$$

Получаем:

$$a\ge 2,\qquad \frac16a\le \frac13,\qquad a\le 2.$$

Следовательно, $$a=2.$$

г) Функция возрастает на отрезке $$[a-2{,}5;\,a-0{,}5].$$

Отрезок должен целиком лежать либо в $$(-\infty;-1],$$ либо в $$[1;+\infty).$$

1) Если $$[a-2{,}5;\,a-0{,}5]\subset (-\infty;-1],$$ то

$$a-0{,}5\le -1,$$

откуда $$a\le -0{,}5.$$

2) Если $$[a-2{,}5;\,a-0{,}5]\subset [1;+\infty),$$ то

$$a-2{,}5\ge 1,$$

откуда $$a\ge 3{,}5.$$

Ответ

а) $$a=-2$$; б) $$-\frac52\le a\le -\frac32$$ или $$a\ge \frac32$$; в) $$a=2$$; г) $$a\le -0{,}5$$ или $$a\ge 3{,}5$$.