Упр.44.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра b функция убывает на всей области определения: a) У = 7 + bх — х2 — х3; б) y = -2корень(х + 3) + bx; в) у = х3 + bх2 + Зх + 21; г) у = -2bx + корень(l — х)?

Подробный ответ

а) $$y=7+bx-x^2-x^3$$

Найдём производную:

$$y’=b-2x-3x^2.$$

Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы

$$b-2x-3x^2\le 0$$

при всех $$x$$. Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$3x^2+2x-b\ge 0.$$

Так как старший коэффициент положителен, достаточно, чтобы дискриминант был неположительным:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-b)=4+12b\le 0.$$

Отсюда

$$12b\le -4,\qquad b\le -\frac13.$$

б) $$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$

Область определения: $$x\ge -3.$$

Найдём производную:

$$y’=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}+b=b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}.$$

Для убывания нужно, чтобы

$$b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\le 0$$

при всех $$x\ge -3.$$

Так как $$\frac{1}{\sqrt{x+3}}>0$$, достаточно и необходимо, чтобы $$b\le 0.$$

в) $$y=x^3+bx^2+3x+21$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2+2bx+3.$$

Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы

$$3x^2+2bx+3\le 0$$

при всех $$x.$$ Но старший коэффициент равен $$3>0,$$ значит при больших $$|x|$$ выражение $$3x^2+2bx+3$$ положительно. Следовательно, такое невозможно ни при каком $$b.$$

г) $$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$

Область определения: $$x\le 1.$$

Найдём производную:

$$y’=-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.$$

Так как $$\frac{1}{2\sqrt{1-x}}>0$$ при $$x<1,$$ то для всех допустимых $$x$$ производная не положительна, если

$$-2b\le 0,$$

то есть

$$b\ge 0.$$