Упр.44.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = ах — cos х; б) у = 2 sin 2x — ах?

Подробный ответ

а) $$y=ax-\cos x$$

Найдём производную:

$$y’=(ax)’-(\cos x)’=a+\sin x.$$

Чтобы функция возрастала, нужно, чтобы $$y’ \ge 0$$ при всех $$x$$:

$$a+\sin x \ge 0.$$

Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то наименьшее значение выражения $$a+\sin x$$ равно $$a-1$$. Значит,

$$a-1 \ge 0,$$

откуда

$$a \ge 1.$$

б) $$y=2\sin 2x-ax$$

Найдём производную:

$$y’=(2\sin 2x)’-(ax)’=4\cos 2x-a.$$

Чтобы функция убывала, нужно, чтобы $$y’ \le 0$$ при всех $$x$$:

$$4\cos 2x-a \le 0.$$

Так как $$-1 \le \cos 2x \le 1,$$ то наибольшее значение выражения $$4\cos 2x-a$$ равно $$4-a$$. Значит,

$$4-a \le 0,$$

откуда

$$a \ge 4.$$

Но для убывания производная должна быть не положительна при всех $$x$$, а минимальное значение $$4\cos 2x-a$$ равно $$-4-a$$. Чтобы оно тоже не превышало нуля, достаточно и необходимо, чтобы

$$4-a \le 0 \quad \text{и} \quad -4-a \le 0.$$

Следовательно,

$$a \ge 4 \quad \text{и} \quad a \ge -4.$$

Условие убывания выполняется при

$$a \ge 4.$$