Упр.44.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой: a) у = х3 + ах; б) у = x3 / 3 — ах2 + 5х — 3?
Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при всех $$x \in \mathbb{R}$$.
$$y=x^3+ax$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2+a.$$
Чтобы функция возрастала на всей прямой, нужно, чтобы
$$3x^2+a \ge 0 \quad \text{при всех } x.$$
Так как $$3x^2 \ge 0$$ при любых $$x$$, наименьшее значение выражения $$3x^2+a$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$a$$. Значит,
$$a \ge 0.$$
$$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3$$
Найдём производную:
$$y’=x^2-2ax+5.$$
Для возрастания на всей прямой нужно, чтобы
$$x^2-2ax+5 \ge 0 \quad \text{при всех } x.$$
Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом. Он неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:
$$D=(-2a)^2-4\cdot 1 \cdot 5=4a^2-20 \le 0.$$
Отсюда
$$a^2 \le 5,$$
значит,
$$-\sqrt5 \le a \le \sqrt5.$$
Ответ
а) $$a \ge 0$$; б) $$-\sqrt5 \le a \le \sqrt5$$.
