Упр.44.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте на монотонность функцию у = f(x) и постройте (схематически) ее график: a) f(x) = х3 — Зх + 2; б) f(x) = х4 — 2х2 + 1; в) f(x) = х3 + 6х2 — 15х + 8; г) f(x) = -х4 + 8х2 — 7.

Подробный ответ

а) $$f(x)=x^3-3x+2$$
$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;x=1.$$
Знак производной:
- $$f'(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
- $$f'(x)<0$$ при $$x\in(-1;1).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1].$$
Для построения графика найдём значения в точках экстремума:
$$f(-1)=-1+3+2=4,\qquad f(1)=1-3+2=0.$$
б) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;x=0,\;x=1.$$
Знак производной:
- $$f'(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1),$$
- $$f'(x)>0$$ при $$x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$
Значения в точках экстремума:
$$f(-1)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f(1)=0.$$
в) $$f(x)=x^3+6x^2-15x+8$$
$$f'(x)=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)=3(x+5)(x-1)$$
Критические точки: $$x=-5,\;x=1.$$
Знак производной:
- $$f'(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty),$$
- $$f'(x)<0$$ при $$x\in(-5;1).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-5]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-5;1].$$
Значения в точках экстремума:
$$f(-5)=-125+150+75+8=108,\qquad f(1)=1+6-15+8=0.$$
г) $$f(x)=-x^4+8x^2-7$$
$$f'(x)=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=-4x(x-2)(x+2)$$
Критические точки: $$x=-2,\;x=0,\;x=2.$$
Знак производной:
- $$f'(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2),$$
- $$f'(x)<0$$ при $$x\in(-2;0)\cup(2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Значения в точках экстремума:
$$f(-2)=-16+32-7=9,\qquad f(0)=-7,\qquad f(2)=-16+32-7=9.$$