Упр.44.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = х5 — 5х4 + 1, если х > = 0, (х + 2)2 — 3, если х < 0; б) y = -Зх5 + 5х3 - 2, если х > = -1, 4/x, если х < -1.

1. а) $$y=\begin{cases}x^5-5x^4+1, & x\ge 0,\\ (x+2)^2-3, & x<0.\end{cases}$$

   1) Для функции $$y=x^5-5x^4+1$$ при $$x\ge 0$$ находим производную:

   $$y’ = 5x^4-20x^3 = 5x^3(x-4).$$

   Тогда $$y’>0$$ при $$x\in[4;+\infty)$$, а на промежутке $$[0;4]$$ функция убывает.

   2) Для функции $$y=(x+2)^2-3$$ при $$x<0$$ имеем:

   $$y’ = 2(x+2)=2x+4.$$

   Значит, $$y'<0$$ при $$x<-2$$ и $$y’>0$$ при $$x>-2$$.

   С учётом области определения получаем: на $$(-\infty;-2]$$ функция убывает, а на $$[-2;0)$$ возрастает.

2. б) $$y=\begin{cases}-3x^5+5x^3-2, & x\ge -1,\\ \dfrac{4}{x}, & x<-1.\end{cases}$$

   1) Для функции $$y=-3x^5+5x^3-2$$ при $$x\ge -1$$ находим производную:

   $$y’=-15x^4+15x^2=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$

   Отсюда $$y’>0$$ при $$-1<x<1$$, а при $$x>1$$ имеем $$y'<0$$.

   С учётом условия $$x\ge -1$$ функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$.

   2) Для функции $$y=\dfrac{4}{x}$$ при $$x<-1$$:

   $$y’=-\dfrac{4}{x^2}<0,$$

   значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$.

Ответ

а) возрастает на $$[-2;0) \cup [4;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2] \cup [0;4]$$.

б) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1) \cup [1;+\infty)$$.