Упр.44.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = 2х3 — 6х, если х > = -1, х2 + 2х + 3, если х < -1; б) у = Зх4 - 4х3, если х = < 2, -х2 + 4х + 12, если х > 2.

а) Рассмотрим каждую ветвь функции отдельно.

1) При $$x \ge -1$$ имеем $$y=2x^3-6x.$$ Тогда

$$y’ = 6x^2-6 = 6(x^2-1)=6(x-1)(x+1).$$

Производная неотрицательна при $$x \le -1$$ или $$x \ge 1.$$ С учётом условия $$x \ge -1$$ получаем: функция возрастает на $$[1;+\infty).$$

2) При $$x<-1$$ имеем $$y=x^2+2x+3.$$ Тогда

$$y’ = 2x+2 = 2(x+1).$$

Для $$x<-1$$ производная отрицательна, значит функция убывает на $$(-\infty;-1).$$

В точке $$x=-1$$ обе ветви дают одно и то же значение, поэтому можно включить эту точку в промежуток убывания.

Итак, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$

б) Рассмотрим каждую ветвь функции отдельно.

1) При $$x \le 2$$ имеем $$y=3x^4-4x^3.$$ Тогда

$$y’ = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1).$$

Производная неотрицательна при $$x \ge 1.$$ С учётом условия $$x \le 2$$ получаем: функция возрастает на $$[1;2].$$

2) При $$x>2$$ имеем $$y=-x^2+4x+12.$$ Тогда

$$y’=-2x+4=2(2-x).$$

Для $$x>2$$ производная отрицательна, значит функция убывает на $$[2;+\infty).$$

Следовательно, функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$(-\infty;1] \cup [2;+\infty).$$

Ответ

а) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$.

б) возрастает на $$[1;2]$$, убывает на $$(-\infty;1] \cup [2;+\infty).$$